Se o fóton tivesse massa não zero
, o potencial de Coulomb seria substituído pelo potencial de Yukawa,
em que
. Com uma função de onda teste criada por você, calcule a energia de ligação de um átomo de ‘hidrogênio’ com esse potencial. Suponha que
e dê a resposta correta para determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando de física, especificamente de interação entre partículas carregadas. Se o fóton tivesse uma massa diferente de zero, o potencial de Coulomb, que descreve a força elétrica entre duas partículas, mudaria para o potencial de Yukawa. Precisamos calcular a energia de ligação de um átomo de hidrogênio usando esse novo potencial. Para isso, vamos usar uma função de onda teste e considerar que μa é muito menor que 1. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica e teoria de potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no átomo de hidrogênio, a energia de ligação está relacionada ao potencial elétrico entre o elétron e o próton. Com o potencial de Yukawa, esse potencial é dado por:
Aqui, μ é relacionado à massa do fóton pela expressão μ = mγ c / ħ.
Passo 3
A energia de ligação pode ser calculada usando a primeira ordem da teoria de perturbação, onde consideramos uma pequena alteração no potencial. Vamos usar uma função de onda teste para o hidrogênio, que é a solução do potencial de Coulomb clássico:
onde a é o raio de Bohr.
Passo 4
Agora, calculamos a energia de ligação como a expectativa do potencial de perturbação. Ou seja:
Como queremos a diferença causada pela introdução do μ, substituímos V pelo potencial de Yukawa menos o potencial de Coulomb.
Passo 5
Substituindo os potenciais:
Simplificando, conseguimos:
Passo 6
Para calcular essa integral, usamos que μa ≪ 1, então podemos expandir o expoente:
Subtraindo 1:
Como μa é muito pequeno, a primeira ordem cancela, e a contribuição principal vem da segunda ordem.
Passo 7
Portanto, a energia de ligação adicional é aproximadamente:
Calculando a integral, que envolve o valor médio de r, que para o átomo de hidrogênio é
.
Passo 8
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Resposta
A energia de ligação adicional é proporcional a
.