(a) Calcule o potencial químico e a energia total para partículas distinguíveis no potencial do oscilador harmônico tridimensional (Problema 4.38). Dica: as somatórias nas equações 5.78 e 5.79 podem ser avaliadas com exatidão nesse caso. Não há necessidade de usar uma aproximação integral, como fizemos para o poço quadrado infinito. Note que, por diferenciação das séries geométricas,
você pode obter
e resultados similares para maiores derivadas. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o potencial químico (μ) e a energia total (E) para partículas distinguíveis num potencial de oscilador harmônico tridimensional. Isso faz parte da matéria de mecânica estatística. Para resolver, vamos precisar entender somatórias de séries geométricas e como elas se aplicam nesse contexto. Vamos usar as fórmulas que relacionam energia, temperatura e constantes como a de Planck.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico tridimensional, a energia de cada partícula é dada por níveis quantizados. A energia total do sistema pode ser obtida somando as energias de todas as partículas. Como as partículas são distinguíveis, podemos tratar cada uma separadamente.
Passo 3
Para encontrar a energia total, precisamos calcular a soma das energias de todas as partículas. Isso envolve somatórias que podem ser resolvidas usando séries geométricas. A dica do enunciado nos dá a base para resolver essas somas exatamente, sem precisar usar aproximações integrais.
Passo 4
Vamos utilizar a fórmula da série geométrica:
Diferenciando essa expressão, conseguimos somar séries que envolvem termos como
, o que é útil para calcular a energia total e o potencial químico.
Passo 5
Ao aplicar a diferenciação nas séries geométricas, obtemos expressões que nos permitem calcular exatamente as somatórias necessárias para a energia total. Isso evita complicações e nos dá uma expressão mais limpa para continuar.
Passo 6
Com as somatórias resolvidas, podemos expressar a energia total do sistema em termos das constantes do problema, como a frequência do oscilador (
), a constante de Planck (
), a constante de Boltzmann (
) e a temperatura (
).