(a) Calcule o potencial químico e a energia total para partículas distinguíveis no potencial do oscilador harmônico tridimensional (Problema 4.38). Dica: as somatórias nas equações 5.78 e 5.79 podem ser avaliadas com exatidão nesse caso. Não há necessidade de usar uma aproximação integral, como fizemos para o poço quadrado infinito. Note que, por diferenciação das séries geométricas,
você pode obter
e resultados similares para maiores derivadas. Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o potencial químico (μ) e a energia total (E) para partículas distinguíveis num potencial de oscilador harmônico tridimensional. Isso faz parte da matéria de mecânica estatística. Para resolver, vamos precisar entender somatórias de séries geométricas e como elas se aplicam nesse contexto. Vamos usar as fórmulas que relacionam energia, temperatura e constantes como a de Planck.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico tridimensional, a energia de cada partícula é dada por níveis quantizados. A energia total do sistema pode ser obtida somando as energias de todas as partículas. Como as partículas são distinguíveis, podemos tratar cada uma separadamente.

Passo 3

Para encontrar a energia total, precisamos calcular a soma das energias de todas as partículas. Isso envolve somatórias que podem ser resolvidas usando séries geométricas. A dica do enunciado nos dá a base para resolver essas somas exatamente, sem precisar usar aproximações integrais.

Passo 4

Vamos utilizar a fórmula da série geométrica:
Diferenciando essa expressão, conseguimos somar séries que envolvem termos como , o que é útil para calcular a energia total e o potencial químico.

Passo 5

Ao aplicar a diferenciação nas séries geométricas, obtemos expressões que nos permitem calcular exatamente as somatórias necessárias para a energia total. Isso evita complicações e nos dá uma expressão mais limpa para continuar.

Passo 6

Com as somatórias resolvidas, podemos expressar a energia total do sistema em termos das constantes do problema, como a frequência do oscilador ( ), a constante de Planck ( ), a constante de Boltzmann ( ) e a temperatura ( ).

Resposta

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