Os cálculo dos centros de massa e dos momentos de inércia frequentemente envolvem a resolução de integrais, em geral uma integral de volume, e tais integrais são quase sempre melhor resolvidas em coordenadas esféricas polares (definidas na Figura 4.16). Mostre que
[Pense sobre o pequeno volume como o volume entre e e e e .] Se a integral de volume à esquerda é sobre todo o espaço, quais são os limites das três integrais da direita?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar como transformar uma integral de volume geral para coordenadas esféricas polares. Isso é super útil quando estamos calculando centros de massa ou momentos de inércia. Para isso, vamos precisar saber como é o elemento de volume nessas coordenadas e definir os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o elemento de volume em coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas, o volume é simplesmente , mas em coordenadas esféricas muda um pouco. Lá, o elemento de volume é dado por:
Isso porque estamos ajustando para a curvatura das esferas. O termo vem do jacobiano da transformação.

Passo 3

Agora, a integral de volume na expressão original está cobrindo todo o espaço. Para transformar isso em coordenadas esféricas, precisamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
  • : Representa a distância do ponto até a origem. Como queremos cobrir todo o espaço, vai de 0 até o infinito.
  • : É o ângulo polar, que varia de 0 (ponto no eixo positivo z) até (ponto no eixo negativo z).
  • : É o ângulo azimutal, que gira em torno do eixo z, variando de 0 até para cobrir todos os ângulos possíveis.

Passo 4

Com os limites definidos, nossa integral em coordenadas esféricas fica assim:
Isso mostra que a integral de volume geral pode ser decomposta em integrais separadas para , e , com os respectivos limites cobrindo todo o espaço.

Resposta

Os limites das três integrais na expressão dada são:

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