Os cálculo dos centros de massa e dos momentos de inércia frequentemente envolvem a resolução de integrais, em geral uma integral de volume, e tais integrais são quase sempre melhor resolvidas em coordenadas esféricas polares (definidas na Figura 4.16). Mostre que
[Pense sobre o pequeno volume
como o volume entre
e
e
e
e
.] Se a integral de volume à esquerda é sobre todo o espaço, quais são os limites das três integrais da direita?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar como transformar uma integral de volume geral para coordenadas esféricas polares. Isso é super útil quando estamos calculando centros de massa ou momentos de inércia. Para isso, vamos precisar saber como é o elemento de volume nessas coordenadas e definir os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o elemento de volume
em coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas, o volume é simplesmente
, mas em coordenadas esféricas muda um pouco. Lá, o elemento de volume é dado por:
Isso porque estamos ajustando para a curvatura das esferas. O termo
vem do jacobiano da transformação.
Passo 3
Agora, a integral de volume
na expressão original está cobrindo todo o espaço. Para transformar isso em coordenadas esféricas, precisamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
-
: Representa a distância do ponto até a origem. Como queremos cobrir todo o espaço, vai de 0 até o infinito. -
: É o ângulo polar, que varia de 0 (ponto no eixo positivo z) até (ponto no eixo negativo z). -
: É o ângulo azimutal, que gira em torno do eixo z, variando de 0 até para cobrir todos os ângulos possíveis.
Passo 4
Com os limites definidos, nossa integral em coordenadas esféricas fica assim:
Isso mostra que a integral de volume geral pode ser decomposta em integrais separadas para
,
e
, com os respectivos limites cobrindo todo o espaço.
Resposta
Os limites das três integrais na expressão dada são: