Um hemisfério sólido e uniforme de raio tem a sua base plana no plano , com seu centro na origem. Use o resultado do Problema 10.4 para determinar o centro de massa. [Comente: este e os dois próximos problemas são planejados para reativar suas habilidades em determinar centros de massa por integração. Em todos os casos, você precisará usar a forma da integral definida em (10.1) para o CM. Se a massa estiver distribuída em um volume (como aqui), a integral será uma integral de volume com .] (b) O que se torna sua resposta quando ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir o que acontece com o centro de massa de um hemisfério sólido e uniforme quando o parâmetro é igual a zero. Estamos trabalhando com conceitos de centros de massa por integração, especificamente para objetos com distribuição de massa em volume. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da integral de volume para o centro de massa, onde a densidade ( ) é constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontramos o centro de massa ( ) de um objeto sólido. A fórmula geral é:
Onde:
  • é a massa total do objeto.
  • é o vetor posição de um elemento de massa .
Como a massa está distribuída no volume, podemos escrever , onde é a densidade uniforme.

Passo 3

Para um hemisfério uniforme centrado na origem com base no plano , o problema tem simetria em relação aos eixos e . Isso significa que as coordenadas e do centro de massa serão iguais a zero:
Portanto, só precisamos encontrar a coordenada do centro de massa. A integral para será:

Passo 4

Vamos calcular a massa total do hemisfério. A massa é a densidade vezes o volume:
Agora, calculamos a integral de sobre o volume do hemisfério. Usando coordenadas esféricas, onde , a integral fica:
Resolvendo essa integral, encontramos:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do :

Resposta

Quando , o centro de massa do hemisfério está localizado a uma altura de acima da base, ou seja, nas coordenadas .

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