Um hemisfério sólido e uniforme de raio
tem a sua base plana no plano
, com seu centro na origem. Use o resultado do Problema 10.4 para determinar o centro de massa. [Comente: este e os dois próximos problemas são planejados para reativar suas habilidades em determinar centros de massa por integração. Em todos os casos, você precisará usar a forma da integral definida em (10.1) para o CM. Se a massa estiver distribuída em um volume (como aqui), a integral será uma integral de volume com
.] (b) O que se torna sua resposta quando
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir o que acontece com o centro de massa de um hemisfério sólido e uniforme quando o parâmetro
é igual a zero. Estamos trabalhando com conceitos de centros de massa por integração, especificamente para objetos com distribuição de massa em volume. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da integral de volume para o centro de massa, onde a densidade (
) é constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontramos o centro de massa (
) de um objeto sólido. A fórmula geral é:
Onde:
-
é a massa total do objeto. -
é o vetor posição de um elemento de massa .
Como a massa está distribuída no volume, podemos escrever
, onde
é a densidade uniforme.
Passo 3
Para um hemisfério uniforme centrado na origem com base no plano
, o problema tem simetria em relação aos eixos
e
. Isso significa que as coordenadas
e
do centro de massa serão iguais a zero:
Portanto, só precisamos encontrar a coordenada
do centro de massa. A integral para
será:
Passo 4
Vamos calcular a massa total
do hemisfério. A massa é a densidade vezes o volume:
Agora, calculamos a integral de
sobre o volume do hemisfério. Usando coordenadas esféricas, onde
, a integral fica:
Resolvendo essa integral, encontramos:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do
:
Resposta
Quando
, o centro de massa do hemisfério está localizado a uma altura de
acima da base, ou seja, nas coordenadas
.