Uma estação espacial estacionária pode ser aproximada como uma casca esférica oca de massa 6 toneladas
e raio interno 5 m e externo 6 m . Para mudar sua orientação, um volante uniforme (raio 10 cm , massa 10 kg ) no centro é girado rapidamente a partir do repouso a 1.000 rpm . (a) Quanto tempo a estação levará para girar por
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma estação espacial que é basicamente uma casca esférica oca com massa de 6 toneladas (6.000 kg), raio interno de 5 metros e externo de 6 metros. No centro dessa estação, tem um volante (ou roda de inércia) com raio de 10 cm e massa de 10 kg que começa a girar rápido a 1.000 rotações por minuto (rpm). A pergunta é: quanto tempo a estação vai levar para girar 10 graus?
Vamos resolver isso usando conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular. Precisamos calcular como a rotação do volante afeta a rotação da estação.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade de rotação do volante de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque as equações de física geralmente usam radianos.
Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos calcular o momento de inércia do volante e da estação. O momento de inércia
é uma medida de como a massa é distribuída em relação ao eixo de rotação.
Para uma roda (volante) uniforme, o momento de inércia é:
Onde:
Calculando:
Passo 4
Para a casca esférica (estação), o momento de inércia é:
Aqui, precisamos usar o raio médio da casca, que é a média entre o raio interno e externo:
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a conservação do momento angular. Antes de girar, a estação e o volante estão em repouso, então o momento angular inicial é zero. Quando o volante começa a girar, ele ganha momento angular que será compensado pela estação girando na direção oposta.
A fórmula da conservação é:
Onde:
-
é a velocidade angular
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, queremos saber quanto tempo
leva para a estação girar 10 graus. Primeiro, convertamos 10 graus para radianos:
Sabemos que:
Então, resolvendo para
:
Resposta
A estação espacial levará aproximadamente 4.017 segundos para girar 10 graus.