Caso você não tenha estudado nada sobre equações diferenciais anteriormente, introduzirei as ideias necessárias à medida das necessidades. Aqui, temos um simples exercício para você iniciar: determine a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
para uma função desconhecida
. [Há várias formas de se fazer isso. Uma é reescrever a equação como
e então integrar ambos os lados.] Quantas constantes arbitrárias a solução geral contém? [Sua resposta deve ilustrar o importante teorema de que a solução para qualquer equação diferencial de ordem
(para uma classe muita ampla de equaçães “razoáveis”) contém
constantes arbitrárias.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para determinarmos a solução geral da equação de primeira ordem
para uma função desconhecida
. Além disso, queremos descobrir quantas constantes arbitrárias essa solução possui. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de equações diferenciais e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, separamos as variáveis
e
para que possamos integrar cada lado da equação de forma independente.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração resultante da integração.
Passo 4
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação dos dois lados da equação:
Sabemos que
, então:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos chamá-la de
(onde
), simplificando para:
Passo 5
Então, a solução geral da equação diferencial
é:
Aqui,
é a constante arbitrária que aparece na solução.
Passo 6
Finalmente, vamos falar sobre a quantidade de constantes arbitrárias na solução. Como resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem, a solução geral contém uma constante arbitrária
. Isso ilustra o teorema importante que afirma que a solução de qualquer equação diferencial de ordem
(para uma classe ampla de equações “razoáveis”) contém
constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária. Essa solução contém uma constante arbitrária, confirmando que para uma equação diferencial de primeira ordem, a solução geral possui uma constante, de acordo com o teorema que relaciona a ordem da equação com o n��mero de constantes na solução.