Caso você não tenha estudado nada sobre equações diferenciais anteriormente, introduzirei as ideias necessárias à medida das necessidades. Aqui, temos um simples exercício para você iniciar: determine a solução geral da equação diferencial de primeira ordem para uma função desconhecida . [Há várias formas de se fazer isso. Uma é reescrever a equação como e então integrar ambos os lados.] Quantas constantes arbitrárias a solução geral contém? [Sua resposta deve ilustrar o importante teorema de que a solução para qualquer equação diferencial de ordem (para uma classe muita ampla de equaçães “razoáveis”) contém constantes arbitrárias.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para determinarmos a solução geral da equação de primeira ordem para uma função desconhecida . Além disso, queremos descobrir quantas constantes arbitrárias essa solução possui. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de equações diferenciais e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, separamos as variáveis e para que possamos integrar cada lado da equação de forma independente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então, temos:
Onde é a constante de integração resultante da integração.

Passo 4

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação dos dois lados da equação:
Sabemos que , então:
Como é apenas uma constante positiva, podemos chamá-la de (onde ), simplificando para:

Passo 5

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, é a constante arbitrária que aparece na solução.

Passo 6

Finalmente, vamos falar sobre a quantidade de constantes arbitrárias na solução. Como resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem, a solução geral contém uma constante arbitrária . Isso ilustra o teorema importante que afirma que a solução de qualquer equação diferencial de ordem (para uma classe ampla de equações “razoáveis”) contém constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária. Essa solução contém uma constante arbitrária, confirmando que para uma equação diferencial de primeira ordem, a solução geral possui uma constante, de acordo com o teorema que relaciona a ordem da equação com o n��mero de constantes na solução.

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