(a) Mostre que o vetor unitário
das coordenadas polares bidimensionais é igual a
e determine uma expressão correspondente para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar como o vetor unitário
nas coordenadas polares em 2D pode ser escrito como uma combinação dos vetores unitários cartesianas
e
multiplicados por
e
, respectivamente. Além disso, a gente também precisa encontrar uma expressão parecida para o vetor unitário
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como elas se relacionam com as coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo
. Os vetores unitários
e
apontam, respectivamente, na direção radial e na direção angular.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
e
. Imagine que estamos desenhando um triângulo retângulo onde o vetor
forma o ângulo
com o eixo
. O cateto adjacente a
é
e o cateto oposto é
. Portanto, podemos escrever:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para
. Esse vetor está na direção perpendicular a
e aponta na direção em que o ângulo
está aumentando. Se
está na direção de
, então
está deslocado 90 graus dessa direção.
Passo 5
Pensando em termos de ângulos, se
é
, então
deve ser:
Isso porque ele está 90 graus à frente de
, e os sinais refletem essa rotação.
Resposta
Portanto, os vetores unitários em coordenadas polares bidimensionais são:
e