(a) Mostre que o vetor unitário das coordenadas polares bidimensionais é igual a
e determine uma expressão correspondente para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar como o vetor unitário nas coordenadas polares em 2D pode ser escrito como uma combinação dos vetores unitários cartesianas e multiplicados por e , respectivamente. Além disso, a gente também precisa encontrar uma expressão parecida para o vetor unitário . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como elas se relacionam com as coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por , onde é a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo . Os vetores unitários e apontam, respectivamente, na direção radial e na direção angular.

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de e . Imagine que estamos desenhando um triângulo retângulo onde o vetor forma o ângulo com o eixo . O cateto adjacente a é e o cateto oposto é . Portanto, podemos escrever:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para . Esse vetor está na direção perpendicular a e aponta na direção em que o ângulo está aumentando. Se está na direção de , então está deslocado 90 graus dessa direção.

Passo 5

Pensando em termos de ângulos, se é , então deve ser:
Isso porque ele está 90 graus à frente de , e os sinais refletem essa rotação.

Resposta

Portanto, os vetores unitários em coordenadas polares bidimensionais são:
e

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