O centro de uma haste longa, sem atrito, está preso na origem e a haste é forçada a girar no plano horizontal com velocidade angular constante . Obtenha a Lagrangiana de uma conta de massa presa à haste, usando como coordenada generalizada, onde e são as coordenada polares da conta. (Observe que não é uma variável independente, uma vez que ela é fixada pela rotação da haste, como sendo .) Resolva a equação de Lagrange para . O que acontece se a conta está inicialmente em repouso na origem? Se ela for largada a partir de qualquer ponto , mostre que eventualmente crescerá exponencialmente. Explique os seus resultados em termos da força centrífuga .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Lagrangiana de uma conta de massa presa a uma haste que gira com velocidade angular constante no plano horizontal. Isso envolve conceitos de Mecânica Lagrangiana, que usa coordenadas generalizadas para descrever sistemas físicos. Aqui, vamos usar as coordenadas polares e , mas como a haste está girando com , não é independente. Vamos precisar lembrar como montar a Lagrangiana , onde é a energia cinética e é a energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as coordenadas polares da conta. Sabemos que , então a posição da conta é definida por e . A energia cinética em coordenadas polares é dada por:
Como , derivando em relação ao tempo, temos . Substituindo isso na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos determinar a energia potencial . Como a haste gira sem atrito e não há outras forças além da força centrífuga atuando, podemos considerar . Assim, a Lagrangiana fica:

Passo 4

Com a Lagrangiana pronta, vamos usar a Equação de Lagrange, que é:
Primeiro, calculamos :
Derivando em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, calculamos :
Substituindo na equação de Lagrange:
Que simplifica para:

Passo 6

Temos agora uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com solução geral:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 7

Vamos analisar as condições iniciais:
  1. Conta em repouso na origem ( e ):
    Substituindo:
    Resolvendo, temos , então . A conta permanece na origem.
  2. Conta largada a partir de com velocidade inicial zero:
    Então, , e a solução fica:
    Como cresce exponencialmente para , também cresce exponencialmente.

Resposta

A solução para a posição da conta é se inicialmente estiver em repouso na origem. Se a conta for largada a partir de um ponto , então , que cresce exponencialmente com o tempo. Esse comportamento ocorre por causa da força centrífuga que tende a afastar a conta do centro à medida que a haste gira.

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