O centro de uma haste longa, sem atrito, está preso na origem e a haste é forçada a girar no plano horizontal com velocidade angular constante
. Obtenha a Lagrangiana de uma conta de massa
presa à haste, usando
como coordenada generalizada, onde
e
são as coordenada polares da conta. (Observe que
não é uma variável independente, uma vez que ela é fixada pela rotação da haste, como sendo
.) Resolva a equação de Lagrange para
. O que acontece se a conta está inicialmente em repouso na origem? Se ela for largada a partir de qualquer ponto
, mostre que
eventualmente crescerá exponencialmente. Explique os seus resultados em termos da força centrífuga
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Lagrangiana de uma conta de massa
presa a uma haste que gira com velocidade angular constante
no plano horizontal. Isso envolve conceitos de Mecânica Lagrangiana, que usa coordenadas generalizadas para descrever sistemas físicos. Aqui, vamos usar as coordenadas polares
e
, mas como a haste está girando com
,
não é independente. Vamos precisar lembrar como montar a Lagrangiana
, onde
é a energia cinética e
é a energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as coordenadas polares da conta. Sabemos que
, então a posição da conta é definida por
e
. A energia cinética
em coordenadas polares é dada por:
Como
, derivando em relação ao tempo, temos
. Substituindo isso na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a energia potencial
. Como a haste gira sem atrito e não há outras forças além da força centrífuga atuando, podemos considerar
. Assim, a Lagrangiana
fica:
Passo 4
Com a Lagrangiana pronta, vamos usar a Equação de Lagrange, que é:
Primeiro, calculamos
:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Substituindo na equação de Lagrange:
Que simplifica para:
Passo 6
Temos agora uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com solução geral:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 7
Vamos analisar as condições iniciais:
-
Conta em repouso na origem (
e ):
Substituindo:Resolvendo, temos, então . A conta permanece na origem. -
Conta largada a partir de
com velocidade inicial zero: Então,, e a solução fica: Comocresce exponencialmente para , também cresce exponencialmente.
Resposta
A solução para a posição
da conta é
se inicialmente estiver em repouso na origem. Se a conta for largada a partir de um ponto
, então
, que cresce exponencialmente com o tempo. Esse comportamento ocorre por causa da força centrífuga
que tende a afastar a conta do centro à medida que a haste gira.