Cinco massas pontuais iguais estão dispostas uma em cada vértice de uma pirâmide quadrada cuja base está centrada sobre a origem no plano , com lado , e cujo ápice está sobre o eixo a uma altura acima da origem. Determine o CM do sistema de cinco massas.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos cinco massas iguais colocadas nos vértices de uma pirâmide quadrada. A base dessa pirâmide é um quadrado no plano com lado e está centrada na origem. O ápice da pirâmide está no eixo , a uma altura acima da origem. Nosso objetivo é determinar o Centro de Massa (CM) desse sistema de cinco massas.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de centro de massa na Física, que nos ajuda a encontrar o ponto médio onde todas as massas se equilibrariam. Como todas as massas são iguais, podemos simplificar os cálculos. Precisaremos determinar as coordenadas , e do centro de massa usando as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas de cada uma das cinco massas. Como a base é um quadrado centrado na origem no plano , os quatro vértices da base terão coordenadas simétricas. Supondo que o lado do quadrado seja , as coordenadas dos vértices da base serão:
O ápice da pirâmide está no eixo a uma altura , então sua coordenada será:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a fórmula do centro de massa para sistemas discretos, que é dada por:
Como todas as massas são iguais, podemos simplificar a fórmula, considerando que . Assim, o centro de massa nas direções e será:
E para a direção :

Passo 4

Vamos calcular e primeiro. Observando as coordenadas dos quatro vértices da base:
Isso significa que e . Isso faz sentido pela simetria do sistema, já que as massas estão distribuídas de maneira simétrica em relação aos eixos e .

Passo 5

Agora, vamos calcular . As coordenadas das quatro massas na base são zero, e a coordenada do ápice é . Então:
Portanto:

Resposta

O centro de massa do sistema de cinco massas está nas coordenadas .

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