Cinco massas pontuais iguais estão dispostas uma em cada vértice de uma pirâmide quadrada cuja base está centrada sobre a origem no plano
, com lado
, e cujo ápice está sobre o eixo
a uma altura
acima da origem. Determine o CM do sistema de cinco massas.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos cinco massas iguais colocadas nos vértices de uma pirâmide quadrada. A base dessa pirâmide é um quadrado no plano
com lado
e está centrada na origem. O ápice da pirâmide está no eixo
, a uma altura
acima da origem. Nosso objetivo é determinar o Centro de Massa (CM) desse sistema de cinco massas.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de centro de massa na Física, que nos ajuda a encontrar o ponto médio onde todas as massas se equilibrariam. Como todas as massas são iguais, podemos simplificar os cálculos. Precisaremos determinar as coordenadas
,
e
do centro de massa usando as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas de cada uma das cinco massas. Como a base é um quadrado centrado na origem no plano
, os quatro vértices da base terão coordenadas simétricas. Supondo que o lado do quadrado seja
, as coordenadas dos vértices da base serão:
O ápice da pirâmide está no eixo
a uma altura
, então sua coordenada será:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a fórmula do centro de massa para sistemas discretos, que é dada por:
Como todas as massas são iguais, podemos simplificar a fórmula, considerando que
. Assim, o centro de massa nas direções
e
será:
E para a direção
:
Passo 4
Vamos calcular
e
primeiro. Observando as coordenadas dos quatro vértices da base:
Isso significa que
e
. Isso faz sentido pela simetria do sistema, já que as massas estão distribuídas de maneira simétrica em relação aos eixos
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. As coordenadas
das quatro massas na base são zero, e a coordenada
do ápice é
. Então:
Portanto:
Resposta
O centro de massa do sistema de cinco massas está nas coordenadas
.