Mostre que, se os eixos e forem eixos principais de um certo corpo rígido, então o tensor de inércia (com respeito a esses eixos) será diagonal, com momentos principais ao longo da diagonal, conforme (10.66).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se os eixos e são os eixos principais de um corpo rígido, o tensor de inércia em relação a esses eixos será uma matriz diagonal, com os momentos de inércia principais na diagonal. Isso envolve conceitos de tensor de inércia e eixos principais de rotação. Para resolver, vamos precisar entender o que é o tensor de inércia e como os eixos principais afetam sua forma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um corpo está distribuída em relação aos eixos de rotação. Em coordenadas gerais, ele é dado por:
Aqui, são os momentos de inércia em relação aos eixos respectivamente, e os termos são os produtos de inércia.

Passo 3

Agora, os eixos principais de um corpo rígido têm uma propriedade especial: em relação a eles, os produtos de inércia são zero. Isso significa que, se são eixos principais, então:
Essa característica simplifica muito o tensor de inércia.

Passo 4

Substituindo esses valores no tensor de inércia, obtemos uma matriz diagonal:
Onde são os momentos principais de inércia ao longo de cada eixo.

Passo 5

Essa matriz diagonal mostra que não há termos de acoplamento entre os diferentes eixos de rotação, o que simplifica os cálculos de movimento rotacional do corpo. Cada eixo principal contribui de forma independente para a inércia total.

Resposta

Portanto, se e são os eixos principais de um corpo rígido, o tensor de inércia em relação a esses eixos é uma matriz diagonal com os momentos de inércia principais na diagonal, conforme mostrado:

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