Mostre que, se os eixos e forem eixos principais de um certo corpo rígido, então o tensor de inércia (com respeito a esses eixos) será diagonal, com momentos principais ao longo da diagonal, conforme (10.66).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se os eixos e são os eixos principais de um corpo rígido, o tensor de inércia em relação a esses eixos será uma matriz diagonal, com os momentos de inércia principais na diagonal. Isso envolve conceitos de tensor de inércia e eixos principais de rotação. Para resolver, vamos precisar entender o que é o tensor de inércia e como os eixos principais afetam sua forma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um corpo está distribuída em relação aos eixos de rotação. Em coordenadas gerais, ele é dado por:
Aqui, são os momentos de inércia em relação aos eixos respectivamente, e os termos são os produtos de inércia.
Passo 3
Agora, os eixos principais de um corpo rígido têm uma propriedade especial: em relação a eles, os produtos de inércia são zero. Isso significa que, se são eixos principais, então:
Essa característica simplifica muito o tensor de inércia.
Passo 4
Substituindo esses valores no tensor de inércia, obtemos uma matriz diagonal:
Onde são os momentos principais de inércia ao longo de cada eixo.
Passo 5
Essa matriz diagonal mostra que não há termos de acoplamento entre os diferentes eixos de rotação, o que simplifica os cálculos de movimento rotacional do corpo. Cada eixo principal contribui de forma independente para a inércia total.
Resposta
Portanto, se e são os eixos principais de um corpo rígido, o tensor de inércia em relação a esses eixos é uma matriz diagonal com os momentos de inércia principais na diagonal, conforme mostrado:
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 10.Problemas - Ex. 10.29