Um corpo rígido é composto de 8 massas iguais distribuídas nos vértices de um cubo de lado , que são mantidos ligados por uma barra de massa desprezível. (b) Determine o tensor de inércia para o mesmo corpo, mas para a rotação em torno do centro do cubo. (Novamente, use eixos paralelos às arestas.) Explique por que neste caso certos elementos de I podem ser esperados como nulos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o tensor de inércia de um corpo rígido composto por 8 massas iguais distribuídas nos vértices de um cubo de lado . A rotação é em torno do centro do cubo, usando eixos paralelos às arestas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o tensor de inércia e como calcular seus componentes para esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o tensor de inércia é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Ele é essencial para entender como o objeto responde a rotações. Para calcular o tensor de inércia, precisamos considerar as posições de cada massa em relação ao centro de rotação.
Passo 3
Vamos posicionar o cubo de modo que seu centro esteja na origem do sistema de coordenadas. Assim, as coordenadas dos vértices serão . Cada uma dessas 8 massas está localizada nesses pontos.
Passo 4
O tensor de inércia é uma matriz 3x3 cujos elementos são definidos por:
Vamos calcular cada um desses componentes.
Passo 5
Vamos calcular :
Para cada vértice, e , então:
Como há 8 massas:
Passo 6
De maneira similar, calculamos e :
Passo 7
Agora, vamos calcular os elementos fora da diagonal, como :
Observando as coordenadas dos vértices, para cada massa, e assumem valores positivos e negativos. Ao somar todos os termos , os positivos e negativos se cancelam:
O mesmo ocorre para e :
Passo 8
Então, o tensor de inércia fica:
Esse tensor é diagonal, o que significa que os eixos principais de rotação coincidem com os eixos escolhidos, e não há acoplamento entre eles.
Resposta
O tensor de inércia para o corpo rígido descrito, em relação ao centro do cubo e com eixos paralelos às arestas, é:
Os elementos fora da diagonal são nulos devido à simetria do cubo, que faz com que as contribuições de , e se cancelem.
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 10.Problemas - Ex. 10.22b