Uma colisão elástica é definida como sendo aquela em que a energia cinética total das duas partículas é a mesma antes e depois da colisão. (a) Mostre que, no referencial do CM, as energias cinéticas individuais das duas partículas são, isoladamente, conservadas em uma colisão elástica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre colisões elásticas. Uma colisão elástica é aquela onde a energia cinética total das duas partículas antes e depois da colisão é a mesma. A questão pede para a gente mostrar que, no referencial do Centro de Massa (CM), as energias cinéticas individuais de cada partícula também são conservadas durante uma colisão elástica. Para resolver isso, vamos precisar entender o referencial do CM, energia cinética e como elas se comportam em colisões elásticas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o referencial do Centro de Massa (CM). Esse é um ponto imaginário onde a massa total do sistema está concentrada, e nele, a velocidade total do sistema é zero. Ou seja, se a gente estiver observando o movimento das partículas a partir do CM, a velocidade média das partículas será zero. Isso simplifica bastante as coisas quando estamos analisando colisões.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da energia cinética. A energia cinética de uma partícula é dada por:
Onde:
-
é a energia cinética, -
é a massa da partícula, -
é a velocidade da part��cula.
Como estamos no referencial do CM, a velocidade total é zero, então a velocidade de uma partícula é igual e oposta à da outra. Se uma partícula tem velocidade
, a outra terá
.
Passo 4
Em uma colisão elástica, a energia cinética total é conservada. No referencial do CM, isso significa que a soma das energias cinéticas das duas partículas antes da colisão é igual à soma após a colisão. Como temos duas partículas com massas
e
, e velocidades
e
, a conservação da energia cinética fica assim:
Onde:
-
e são as velocidades após a colisão.
Passo 5
No referencial do CM, sabemos que as velocidades antes da colisão são iguais em magnitude e opostas em direção, ou seja,
. Após a colisão, para que a energia cinética total seja conservada, as velocidades individuais também devem ter essa propriedade. Ou seja,
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação da conservação da energia cinética:
Simplificando:
Passo 7
Fatorando os termos comuns:
Agora, podemos cancelar
dos dois lados:
Isso significa que
. No contexto de uma colisão elástica no referencial do CM, a única solução física que faz sentido é
, já que as partículas trocam suas direções após a colisão.
Resposta
No referencial do Centro de Massa, as energias cinéticas individuais das duas partículas permanecem iguais antes e depois da colisão, ou seja, são conservadas em uma colisão elástica.