Uma colisão elástica é definida como sendo aquela em que a energia cinética total das duas partículas é a mesma antes e depois da colisão. (a) Mostre que, no referencial do CM, as energias cinéticas individuais das duas partículas são, isoladamente, conservadas em uma colisão elástica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre colisões elásticas. Uma colisão elástica é aquela onde a energia cinética total das duas partículas antes e depois da colisão é a mesma. A questão pede para a gente mostrar que, no referencial do Centro de Massa (CM), as energias cinéticas individuais de cada partícula também são conservadas durante uma colisão elástica. Para resolver isso, vamos precisar entender o referencial do CM, energia cinética e como elas se comportam em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o referencial do Centro de Massa (CM). Esse é um ponto imaginário onde a massa total do sistema está concentrada, e nele, a velocidade total do sistema é zero. Ou seja, se a gente estiver observando o movimento das partículas a partir do CM, a velocidade média das partículas será zero. Isso simplifica bastante as coisas quando estamos analisando colisões.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da energia cinética. A energia cinética de uma partícula é dada por:
Onde:
  • é a energia cinética,
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade da part��cula.
Como estamos no referencial do CM, a velocidade total é zero, então a velocidade de uma partícula é igual e oposta à da outra. Se uma partícula tem velocidade , a outra terá .

Passo 4

Em uma colisão elástica, a energia cinética total é conservada. No referencial do CM, isso significa que a soma das energias cinéticas das duas partículas antes da colisão é igual à soma após a colisão. Como temos duas partículas com massas e , e velocidades e , a conservação da energia cinética fica assim:
Onde:
  • e são as velocidades após a colisão.

Passo 5

No referencial do CM, sabemos que as velocidades antes da colisão são iguais em magnitude e opostas em direção, ou seja, . Após a colisão, para que a energia cinética total seja conservada, as velocidades individuais também devem ter essa propriedade. Ou seja, .

Passo 6

Substituindo e na equação da conservação da energia cinética:
Simplificando:

Passo 7

Fatorando os termos comuns:
Agora, podemos cancelar dos dois lados:
Isso significa que . No contexto de uma colisão elástica no referencial do CM, a única solução física que faz sentido é , já que as partículas trocam suas direções após a colisão.

Resposta

No referencial do Centro de Massa, as energias cinéticas individuais das duas partículas permanecem iguais antes e depois da colisão, ou seja, são conservadas em uma colisão elástica.

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