Considere um projétil pontual movendo-se em um campo de força esférico e fixo, cuja energia potencial é
onde é uma constante positiva. Este, chamado de poço esférico, representa um projétil que se move livremente em alguma das regiões e , mas, quando ele cruza a fronteira , recebe um impulso para dentro radialmente que modifica sua energia cinética por ( , para dentro, , para fora). (b) Use a conservação de energia para determinar o momento do projétil dentro do poço . Seja denotando a razão do
momento e seja denotando a distância do projétil quando está mais próximo da origem. Use a conservação do momento angular para mostrar que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um projétil que se move em um campo de força esférico com energia potencial definida por:
Isso significa que dentro do raio , a energia potencial é uma constante negativa , e fora desse raio, a energia potencial é zero. Quando o projétil cruza a fronteira em , sua energia cinética muda em . Nosso objetivo aqui é usar a conservação de energia para encontrar o momento do projétil dentro do poço ( ) e mostrar que a distância mais próxima do projétil à origem está relacionada ao parâmetro pela relação , onde .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação de energia. A energia total do projétil é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Fora do poço ( ), a energia potencial , então a energia total é igual à energia cinética:
Dentro do poço ( ), a energia potencial , e a energia cinética muda para . Pela conservação de energia:
Resolvendo para :
Porém, como queremos expressar em termos de , definimos:

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação do momento angular. O momento angular é dado por:
Onde:
  • é o parâmetro de impacto fora do poço,
  • é a distância mais próxima à origem dentro do poço,
  • é a velocidade inicial,
  • é a velocidade dentro do poço.
Mas como o momento linear , podemos reescrever:
Substituindo :

Resposta

Assim, mostramos que a distância mais próxima do projétil à origem dentro do poço é dada por:

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