Considere um projétil pontual movendo-se em um campo de força esférico e fixo, cuja energia potencial é
onde
é uma constante positiva. Este, chamado de poço esférico, representa um projétil que se move livremente em alguma das regiões
e
, mas, quando ele cruza a fronteira
, recebe um impulso para dentro radialmente que modifica sua energia cinética por
(
, para dentro,
, para fora). (b) Use a conservação de energia para determinar o momento
do projétil dentro do poço
. Seja
denotando a razão do
momento
e seja
denotando a distância do projétil quando está mais próximo da origem. Use a conservação do momento angular para mostrar que
.
momento
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um projétil que se move em um campo de força esférico com energia potencial definida por:
Isso significa que dentro do raio
, a energia potencial é uma constante negativa
, e fora desse raio, a energia potencial é zero. Quando o projétil cruza a fronteira em
, sua energia cinética muda em
. Nosso objetivo aqui é usar a conservação de energia para encontrar o momento
do projétil dentro do poço (
) e mostrar que a distância mais próxima
do projétil à origem está relacionada ao parâmetro
pela relação
, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a conservação de energia. A energia total
do projétil é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Fora do poço (
), a energia potencial
, então a energia total é igual à energia cinética:
Dentro do poço (
), a energia potencial
, e a energia cinética muda para
. Pela conservação de energia:
Resolvendo para
:
Porém, como queremos expressar
em termos de
, definimos:
Passo 3
Agora, vamos usar a conservação do momento angular. O momento angular
é dado por:
Onde:
-
é o parâmetro de impacto fora do poço, -
é a distância mais próxima à origem dentro do poço, -
é a velocidade inicial, -
é a velocidade dentro do poço.
Mas como o momento linear
, podemos reescrever:
Substituindo
:
Resposta
Assim, mostramos que a distância mais próxima
do projétil à origem dentro do poço é dada por: