Considere um projétil pontual movendo-se em um campo de força esférico e fixo, cuja energia potencial é
onde é uma constante positiva. Este, chamado de poço esférico, representa um projétil que se move livremente em alguma das regiões e , mas, quando ele cruza a fronteira , recebe um impulso para dentro radialmente que modifica sua energia cinética por ( , para dentro, , para fora). © Use seu esboço para demonstrar que o ângulo de espalhamento é
Essa equação fornece como uma função de , que é o que você precisa para obter a seção de choque. A relação depende da razão do momento , que, por sua vez, depende do momento inicial e da profundidade do poço . Desenhe o gráfico de como função de para o caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um projétil que se move num campo de força esférico, chamado de poço esférico. A energia potencial desse campo é dada por:
Aqui, é uma constante positiva, e é o raio do poço. Queremos demonstrar que o ângulo de espalhamento está relacionado ao parâmetro de impacto pela equação:
Para isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial, momento angular e como eles influenciam o ângulo de espalhamento. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o parâmetro de impacto é a distância mínima que o projétil teria do centro de força se não houvesse nenhuma interação. No nosso caso, quando o projétil entra no poço ( ), sua energia cinética é modificada por .
Além disso, é a razão do momento, que depende do momento inicial e da profundidade do poço . Esse fator vai influenciar como o projétil se comporta ao atravessar o poço.

Passo 3

Vamos analisar o movimento do projétil em duas regiões: fora do poço ( ) e dentro do poço ( ).
  • Fora do poço ( ): Aqui, a energia potencial é zero, então a energia total do projétil é toda cinética.
  • Dentro do poço ( ): A energia potencial é , então a energia total é a cinética modificada pela profundidade do poço.
O projétil recebe um impulso ao cruzar a fronteira , o que altera sua energia cinética por . Isso afeta o ângulo de espalhamento .

Passo 4

Para encontrar , vamos considerar a trajetória do projétil e como ela é afetada pela mudança na energia cinética ao entrar e sair do poço.
A trajetória fora do poço é uma reta, enquanto dentro do poço ela sofre uma deflexão devido ao impulso recebido. Usando a conservação do momento angular e a relação entre o parâmetro de impacto e o ângulo de espalhamento , podemos derivar a fórmula desejada.

Passo 5

Aplicando a geometria da situação e as relações trigonométricas, chegamos à expressão para o ângulo de espalhamento:
Aqui, é a função arco seno, que relaciona os ângulos aos seus senos. A diferença entre os dois termos dentro dos parênteses reflete a diferença na trajetória do projétil ao entrar e sair do poço.

Resposta

Portanto, o ângulo de espalhamento em função do parâmetro de impacto é dado por:
Para o caso em que , o gráfico de versus pode ser desenhado substituindo esse valor na equação acima, mostrando como o ângulo de espalhamento varia com o parâmetro de impacto dentro desse contexto específico.

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