Considere um projétil pontual movendo-se em um campo de força esférico e fixo, cuja energia potencial é
onde
é uma constante positiva. Este, chamado de poço esférico, representa um projétil que se move livremente em alguma das regiões
e
, mas, quando ele cruza a fronteira
, recebe um impulso para dentro radialmente que modifica sua energia cinética por
(
, para dentro,
, para fora). © Use seu esboço para demonstrar que o ângulo de espalhamento
é
Essa equação fornece
como uma função de
, que é o que você precisa para obter a seção de choque. A relação depende da razão do momento
, que, por sua vez, depende do momento inicial
e da profundidade do poço
. Desenhe o gráfico de
como função de
para o caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um projétil que se move num campo de força esférico, chamado de poço esférico. A energia potencial desse campo é dada por:
Aqui,
é uma constante positiva, e
é o raio do poço. Queremos demonstrar que o ângulo de espalhamento
está relacionado ao parâmetro de impacto
pela equação:
Para isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial, momento angular e como eles influenciam o ângulo de espalhamento. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o parâmetro de impacto
é a distância mínima que o projétil teria do centro de força se não houvesse nenhuma interação. No nosso caso, quando o projétil entra no poço (
), sua energia cinética é modificada por
.
Além disso,
é a razão do momento, que depende do momento inicial
e da profundidade do poço
. Esse fator vai influenciar como o projétil se comporta ao atravessar o poço.
Passo 3
Vamos analisar o movimento do projétil em duas regiões: fora do poço (
) e dentro do poço (
).
-
Fora do poço (
): Aqui, a energia potencial é zero, então a energia total do projétil é toda cinética. -
Dentro do poço (
): A energia potencial é , então a energia total é a cinética modificada pela profundidade do poço.
O projétil recebe um impulso ao cruzar a fronteira
, o que altera sua energia cinética por
. Isso afeta o ângulo de espalhamento
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos considerar a trajetória do projétil e como ela é afetada pela mudança na energia cinética ao entrar e sair do poço.
A trajetória fora do poço é uma reta, enquanto dentro do poço ela sofre uma deflexão devido ao impulso recebido. Usando a conservação do momento angular e a relação entre o parâmetro de impacto
e o ângulo de espalhamento
, podemos derivar a fórmula desejada.
Passo 5
Aplicando a geometria da situação e as relações trigonométricas, chegamos à expressão para o ângulo de espalhamento:
Aqui,
é a função arco seno, que relaciona os ângulos aos seus senos. A diferença entre os dois termos dentro dos parênteses reflete a diferença na trajetória do projétil ao entrar e sair do poço.
Resposta
Portanto, o ângulo de espalhamento
em função do parâmetro de impacto
é dado por:
Para o caso em que
, o gráfico de
versus
pode ser desenhado substituindo esse valor na equação acima, mostrando como o ângulo de espalhamento varia com o parâmetro de impacto dentro desse contexto específico.