Uma colisão elástica é definida como sendo aquela em que a energia cinética total das duas partículas é a mesma antes e depois da colisão. (d) Para uma dada razão das massas , que tipo de colisão gera a maior perda de energia fracional? Qual valor de maximiza a perda de energia? (Sua resposta é importante em situações onde se deseja que uma partícula perca energia tão rápido quanto possível - como em um reator nuclear, por exemplo.)

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Nós temos uma colisão elástica, o que significa que a energia cinética total das duas partículas é a mesma antes e depois da colisão. A questão nos pede para descobrir, para uma dada razão das massas , qual tipo de colisão gera a maior perda de energia fracional e qual valor de maximiza essa perda de energia. Essencialmente, queremos saber como escolher as massas das partículas para que uma delas perca o máximo de energia possível durante a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as massas das duas partículas. Vamos chamar a massa da primeira partícula de e a massa da segunda partícula de . A razão das massas é dada por .

Passo 3

Em uma colisão elástica entre duas partículas, as velocidades após a colisão podem ser calculadas usando as leis de conservação da quantidade de movimento e da energia cinética. As fórmulas para as velocidades finais ( e ) são:
Assumindo que antes da colisão, a primeira partícula tem velocidade e a segunda partícula está em repouso ( ), as equações simplificam para:

Passo 4

A energia cinética de uma partícula é dada por:
Vamos calcular a energia cinética após a colisão para a primeira partícula ( ):
A energia cinética perdida pela primeira partícula é:

Passo 5

Para encontrar a perda de energia fracional, vamos dividir a perda de energia pela energia cinética inicial:
Substituindo , temos :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Expandindo e :
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, queremos encontrar o valor de que maximiza a perda fracional. Para isso, vamos maximizar a função:
Vamos encontrar o valor de que torna máximo. Para isso, calculamos a derivada de em relação a e igualamos a zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 8

Verificamos que é realmente um ponto de máximo. Para , a função atinge o valor máximo quando . Isso significa que a perda fracional de energia é máxima quando as massas das duas partículas são iguais.

Resposta

A colisão que gera a maior perda de energia fracional ocorre quando as duas partículas têm massas iguais, ou seja, quando . Portanto, o valor de que maximiza a perda de energia é .

Exercícios de Livros Relacionados