Uma colisão elástica é definida como sendo aquela em que a energia cinética total das duas partículas é a mesma antes e depois da colisão. (d) Para uma dada razão das massas
, que tipo de colisão gera a maior perda de energia fracional? Qual valor de
maximiza a perda de energia? (Sua resposta é importante em situações onde se deseja que uma partícula perca energia tão rápido quanto possível - como em um reator nuclear, por exemplo.)
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Nós temos uma colisão elástica, o que significa que a energia cinética total das duas partículas é a mesma antes e depois da colisão. A questão nos pede para descobrir, para uma dada razão das massas
, qual tipo de colisão gera a maior perda de energia fracional e qual valor de
maximiza essa perda de energia. Essencialmente, queremos saber como escolher as massas das partículas para que uma delas perca o máximo de energia possível durante a colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as massas das duas partículas. Vamos chamar a massa da primeira partícula de
e a massa da segunda partícula de
. A razão das massas é dada por
.
Passo 3
Em uma colisão elástica entre duas partículas, as velocidades após a colisão podem ser calculadas usando as leis de conservação da quantidade de movimento e da energia cinética. As fórmulas para as velocidades finais (
e
) são:
Assumindo que antes da colisão, a primeira partícula tem velocidade
e a segunda partícula está em repouso (
), as equações simplificam para:
Passo 4
A energia cinética de uma partícula é dada por:
Vamos calcular a energia cinética após a colisão para a primeira partícula (
):
A energia cinética perdida pela primeira partícula é:
Passo 5
Para encontrar a perda de energia fracional, vamos dividir a perda de energia pela energia cinética inicial:
Substituindo
, temos
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Expandindo
e
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, queremos encontrar o valor de
que maximiza a perda fracional. Para isso, vamos maximizar a função:
Vamos encontrar o valor de
que torna
máximo. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 8
Verificamos que
é realmente um ponto de máximo. Para
, a função
atinge o valor máximo quando
. Isso significa que a perda fracional de energia é máxima quando as massas das duas partículas são iguais.
Resposta
A colisão que gera a maior perda de energia fracional ocorre quando as duas partículas têm massas iguais, ou seja, quando
. Portanto, o valor de
que maximiza a perda de energia é
.