Duas partículas de massa
estão ligadas às extremidades de uma haste rígida sem massa de comprimento
. O sistema é livre para rotacionar em três dimensões em torno do centro (porém, o próprio ponto central é fixo).
(b) Quais são as autofunções normalizadas para esse sistema? Qual é a degenerescência do
-ésimo nível de energia?
(b) Quais são as autofunções normalizadas para esse sistema? Qual é a degenerescência do
Passo 1
Então, temos duas partículas com massa
presas nas pontas de uma haste rígida e sem massa, de comprimento
. Esse sistema pode girar livremente em qualquer direção ao redor do centro fixo da haste. A gente vai trabalhar com a mecânica quântica, especificamente com o modelo de rotor rígido. Para resolver essa parte do exercício, vamos precisar entender sobre funções de onda angulares (harmônicas esféricas) e como elas descrevem os estados de energia do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no momento de inércia do sistema. Como temos duas partículas cada uma a uma distância
do centro, o momento de inércia
é dado por:
Isso é importante porque a energia rotacional depende desse momento de inércia.
Passo 3
Na mecânica quântica, para um rotor rígido, as autofunções (ou funções de onda) são as harmônicas esféricas
. Essas funções descrevem como o sistema está girando no espaço tridimensional. Aqui,
é o número quântico principal que determina a energia, e
é o número quântico magnético que indica a orientação angular.
Passo 4
As harmônicas esféricas
são normalizadas, o que significa que elas obedecem à condição de que a probabilidade total de encontrar o sistema em qualquer direção é 1. Matematicamente, isso é expresso por:
Essa normalização garante que as funções de onda sejam fisicamente significativas.
Passo 5
Agora, sobre a degenerescência dos níveis de energia. Cada nível de energia
está associado a diferentes estados de
, que vão de
até
. Isso significa que para cada
, existem
valores possíveis de
. Portanto, a degenerescência, que indica quantos estados diferentes têm a mesma energia, é:
Resposta
As autofunções normalizadas são as harmônicas esféricas
para cada número quântico
variando de
a
. A degenerescência do
-ésimo nível de energia é
.