Duas partículas de massa estão ligadas às extremidades de uma haste rígida sem massa de comprimento . O sistema é livre para rotacionar em três dimensões em torno do centro (porém, o próprio ponto central é fixo).
(b) Quais são as autofunções normalizadas para esse sistema? Qual é a degenerescência do -ésimo nível de energia?

Passo 1

Então, temos duas partículas com massa presas nas pontas de uma haste rígida e sem massa, de comprimento . Esse sistema pode girar livremente em qualquer direção ao redor do centro fixo da haste. A gente vai trabalhar com a mecânica quântica, especificamente com o modelo de rotor rígido. Para resolver essa parte do exercício, vamos precisar entender sobre funções de onda angulares (harmônicas esféricas) e como elas descrevem os estados de energia do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no momento de inércia do sistema. Como temos duas partículas cada uma a uma distância do centro, o momento de inércia é dado por:
Isso é importante porque a energia rotacional depende desse momento de inércia.

Passo 3

Na mecânica quântica, para um rotor rígido, as autofunções (ou funções de onda) são as harmônicas esféricas . Essas funções descrevem como o sistema está girando no espaço tridimensional. Aqui, é o número quântico principal que determina a energia, e é o número quântico magnético que indica a orientação angular.

Passo 4

As harmônicas esféricas são normalizadas, o que significa que elas obedecem à condição de que a probabilidade total de encontrar o sistema em qualquer direção é 1. Matematicamente, isso é expresso por:
Essa normalização garante que as funções de onda sejam fisicamente significativas.

Passo 5

Agora, sobre a degenerescência dos níveis de energia. Cada nível de energia está associado a diferentes estados de , que vão de até . Isso significa que para cada , existem valores possíveis de . Portanto, a degenerescência, que indica quantos estados diferentes têm a mesma energia, é:
ê

Resposta

As autofunções normalizadas são as harmônicas esféricas para cada número quântico variando de a . A degenerescência do -ésimo nível de energia é .

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