Os operadores de levantamento e abaixamento mudam o valor de em uma unidade:
em que é uma constante. Pergunta: qual é o valor de se as autofunções devem ser normalizadas? Dica: primeiro mostre que é o conjugado hermitiano de (já que e são observáveis, você deve supor que são também hermitianos… mas verifique, se quiser); então, use a Equação 4.112. Resposta:
Observe o que acontece no topo e na base da escada (isto é, quando você aplica para ou para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema está na área da Mecânica Quântica, especificamente lidando com operadores de levantamento e abaixamento que alteram o valor de em uma unidade. Nosso objetivo é encontrar o valor de que garante que as autofunções sejam normalizadas. Para isso, vamos precisar entender conceitos como operadores hermitianos, normalização de funções e propriedades dos operadores de angular momentum.

Passo 2

Primeiro, lembremos que os operadores de levantamento e abaixamento atuam sobre as funções próprias alterando o valor de de para . A equação dada é:

Passo 3

Para garantir que as funções próprias sejam normalizadas, precisamos que os operadores e sejam operadores hermitianos conjugados. Isso significa que é o conjugado hermitiano de :
Isso é importante porque, em mecânica quântica, operadores observáveis (como e ) devem ser hermitianos para garantir que seus valores próprios sejam reais e que as funções próprias sejam ortonormalizadas.

Passo 4

Agora, vamos utilizar a Equação 4.112 (presumivelmente de um livro de referência), que relaciona os operadores de levantamento e abaixamento com os valores próprios e . A equação provavelmente fornece a relação entre e esses valores.

Passo 5

Aplicando essa equação, obtemos uma expressão para que depende de e :
Aqui, é a constante de Planck reduzida, e a expressão dentro da raiz garante que a norma das funções próprias seja mantida após a aplicação dos operadores.

Passo 6

Por fim, vamos observar o comportamento no topo e na base da “escada” quântica de . Quando aplicamos no estado de maior ou no estado de menor , a função própria resultante deve se anular, garantindo que não ultrapassamos os limites físicos dos valores de .

Resposta

O valor de para que as autofunções sejam normalizadas é:

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