Os operadores de levantamento e abaixamento mudam o valor de
em uma unidade:
em que
é uma constante. Pergunta: qual é o valor de
se as autofunções devem ser normalizadas? Dica: primeiro mostre que
é o conjugado hermitiano de
(já que
e
são observáveis, você deve supor que são também hermitianos… mas verifique, se quiser); então, use a Equação 4.112. Resposta:
Observe o que acontece no topo e na base da escada (isto é, quando você aplica
para
ou
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema está na área da Mecânica Quântica, especificamente lidando com operadores de levantamento e abaixamento que alteram o valor de
em uma unidade. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que garante que as autofunções
sejam normalizadas. Para isso, vamos precisar entender conceitos como operadores hermitianos, normalização de funções e propriedades dos operadores de angular momentum.
Passo 2
Primeiro, lembremos que os operadores de levantamento
e abaixamento
atuam sobre as funções próprias
alterando o valor de
de
para
. A equação dada é:
Passo 3
Para garantir que as funções próprias sejam normalizadas, precisamos que os operadores
e
sejam operadores hermitianos conjugados. Isso significa que
é o conjugado hermitiano de
:
Isso é importante porque, em mecânica quântica, operadores observáveis (como
e
) devem ser hermitianos para garantir que seus valores próprios sejam reais e que as funções próprias sejam ortonormalizadas.
Passo 4
Agora, vamos utilizar a Equação 4.112 (presumivelmente de um livro de referência), que relaciona os operadores de levantamento e abaixamento com os valores próprios
e
. A equação provavelmente fornece a relação entre
e esses valores.
Passo 5
Aplicando essa equação, obtemos uma expressão para
que depende de
e
:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida, e a expressão dentro da raiz garante que a norma das funções próprias seja mantida após a aplicação dos operadores.
Passo 6
Por fim, vamos observar o comportamento no topo e na base da “escada” quântica de
. Quando aplicamos
no estado de maior
ou
no estado de menor
, a função própria resultante deve se anular, garantindo que não ultrapassamos os limites físicos dos valores de
.
Resposta
O valor de
para que as autofunções sejam normalizadas é: