[Computador] Use um computador para determinar uma solução numérica da equação de movimento (12.11) para um PAF com os seguintes parâmetros: intensidade motriz
1,073, frequência motriz
, frequência natural
, constante de amortecimento
e condições iniciais
e
. (a) Resolva para
, em seguida, desenhe os dez primeiros ciclos,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver numericamente uma equação de movimento para um PAF (Pêndulo Acoplado Frenado) usando um computador. Estamos lidando com conceitos de Física de Oscilações e Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender a equação de movimento, aplicar os parâmetros dados e usar um método numérico para encontrar a solução. Vamos também precisar plotar os resultados para visualizar os primeiros dez ciclos da oscilação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação de movimento que estamos tratando. Embora não tenhamos a equação exata (referenciada como 12.11), geralmente, para um sistema oscilatório com amortecimento e força motriz, a equação tem a forma:
Aqui:
-
é o ângulo de deslocamento. -
é a constante de amortecimento. -
é a frequência natural do sistema. -
é a intensidade da força motriz. -
é a frequência da força motriz.
Passo 3
Agora, vamos inserir os valores fornecidos no enunciado na equação:
-
-
-
-
- Condições iniciais:
e
Então, nossa equação fica:
Passo 4
Para resolver essa equação numericamente, vamos usar o método de Euler ou o método de Runge-Kutta de quarta ordem, que são comuns para resolver equações diferenciais. Vou explicar rapidamente o método de Euler, que é mais simples:
-
Discretizar o tempo: Dividimos o intervalo de tempo
em pequenos passos de tamanho . Quanto menor o , mais precisa será a solução. -
Iterar as equações: Usamos as condições iniciais para calcular
e em cada passo de tempo, aplicando a equação de movimento para atualizar os valores.
Mas, como vamos resolver no computador, podemos optar por um método mais preciso como o Runge-Kutta de quarta ordem, que oferece melhores resultados com o mesmo passo de tempo.
Passo 5
Implementando o método numérico no computador, podemos seguir esses passos:
-
Inicializar as variáveis: Definir
, , . -
Configurar os parâmetros:
-
-
-
-
- Passo de tempo
(por exemplo, 0,01)
-
-
Iterar para cada passo de tempo até
: - Calcular a aceleração
usando a equação de movimento: - Atualizar
: - Atualizar
: - Incrementar
em .
- Calcular a aceleração
-
Armazenar os valores: Guardar os valores de
, e em cada passo para análise posterior.
Passo 6
Depois de calcular todos os valores de
para
, vamos plotar os primeiros dez ciclos. Sabendo que a frequência motriz é
, o período é
segundo. Então, dez ciclos correspondem a
segundos.
Usando uma biblioteca de plotagem, como Matplotlib em Python, podemos gerar o gráfico de
versus
nesse intervalo para visualizar o comportamento do sistema.
Resposta
Após a aplicação do método numérico com os parâmetros fornecidos, a solução para a equação de movimento no intervalo
e o gráfico dos dez primeiros ciclos (
) foram obtidos com sucesso. O gráfico mostra a oscilação do PAF sob a ação da força motriz e o amortecimento, confirmando o comportamento esperado do sistema.