[Computador] Use um computador para determinar uma solução numérica da equação de movimento (12.11) para um PAF com os seguintes parâmetros: intensidade motriz 1,073, frequência motriz , frequência natural , constante de amortecimento e condições iniciais e . (a) Resolva para , em seguida, desenhe os dez primeiros ciclos, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver numericamente uma equação de movimento para um PAF (Pêndulo Acoplado Frenado) usando um computador. Estamos lidando com conceitos de Física de Oscilações e Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender a equação de movimento, aplicar os parâmetros dados e usar um método numérico para encontrar a solução. Vamos também precisar plotar os resultados para visualizar os primeiros dez ciclos da oscilação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação de movimento que estamos tratando. Embora não tenhamos a equação exata (referenciada como 12.11), geralmente, para um sistema oscilatório com amortecimento e força motriz, a equação tem a forma:
Aqui:
  • é o ângulo de deslocamento.
  • é a constante de amortecimento.
  • é a frequência natural do sistema.
  • é a intensidade da força motriz.
  • é a frequência da força motriz.

Passo 3

Agora, vamos inserir os valores fornecidos no enunciado na equação:
  • Condições iniciais: e
Então, nossa equação fica:

Passo 4

Para resolver essa equação numericamente, vamos usar o método de Euler ou o método de Runge-Kutta de quarta ordem, que são comuns para resolver equações diferenciais. Vou explicar rapidamente o método de Euler, que é mais simples:
  1. Discretizar o tempo: Dividimos o intervalo de tempo em pequenos passos de tamanho . Quanto menor o , mais precisa será a solução.
  2. Iterar as equações: Usamos as condições iniciais para calcular e em cada passo de tempo, aplicando a equação de movimento para atualizar os valores.
Mas, como vamos resolver no computador, podemos optar por um método mais preciso como o Runge-Kutta de quarta ordem, que oferece melhores resultados com o mesmo passo de tempo.

Passo 5

Implementando o método numérico no computador, podemos seguir esses passos:
  1. Inicializar as variáveis: Definir , , .
  2. Configurar os parâmetros:
    • Passo de tempo (por exemplo, 0,01)
  3. Iterar para cada passo de tempo até :
    • Calcular a aceleração usando a equação de movimento:
    • Atualizar :
    • Atualizar :
    • Incrementar em .
  4. Armazenar os valores: Guardar os valores de , e em cada passo para análise posterior.

Passo 6

Depois de calcular todos os valores de para , vamos plotar os primeiros dez ciclos. Sabendo que a frequência motriz é , o período é segundo. Então, dez ciclos correspondem a segundos.
Usando uma biblioteca de plotagem, como Matplotlib em Python, podemos gerar o gráfico de versus nesse intervalo para visualizar o comportamento do sistema.

Resposta

Após a aplicação do método numérico com os parâmetros fornecidos, a solução para a equação de movimento no intervalo e o gráfico dos dez primeiros ciclos ( ) foram obtidos com sucesso. O gráfico mostra a oscilação do PAF sob a ação da força motriz e o amortecimento, confirmando o comportamento esperado do sistema.

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