[Computador] Considere o mapa seno
, onde
. O comportamento interessante deste mapa é para
e
, por isso, restrinja sua atenção para estes intervalos. © Quando
cresce, o segundo ponto fixo eventualmente se torna instável. Determine numericamente o valor
no qual isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um mapa seno definido por
, onde
. Estamos focando no intervalo
e
. A parte que vamos resolver é a letra ©, que pergunta: “Quando
aumenta, o segundo ponto fixo eventualmente se torna instável. Determine numericamente o valor
no qual isso ocorre.”
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Ponto fixo: É um valor
que satisfaz . - Estabilidade de um ponto fixo: Um ponto fixo é estável se, ao fazer pequenas variações em
ao redor de , as iterações retornam para . Isso é determinado pelo valor da derivada . Se , o ponto fixo é estável; se , é instável.
Vamos seguir passo a passo para encontrar numericamente o valor
onde o segundo ponto fixo se torna instável.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos fixos da função
no intervalo
. Isso significa resolver a equação:
Essa equação pode ter até dois pontos fixos no intervalo dado, dependendo do valor de
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos fixos graficamente ou numericamente. Para simplificar, podemos fixar
e resolver a equação
para
.
No caso de
, por exemplo:
Resolvendo numericamente, vemos que existem dois pontos fixos:
e outro ponto
em
.
Passo 4
Agora, precisamos analisar a estabilidade desses pontos fixos. Calculamos a derivada da função
:
A condição de estabilidade é
. Quando
, o ponto fixo muda de estável para instável.
Passo 5
Vamos nos concentrar no segundo ponto fixo
(o que está em
). Queremos encontrar o valor de
quando
:
Como estamos no intervalo
e
, podemos simplificar para:
Passo 6
Vamos substituir
da equação do ponto fixo na equação da derivada. Sabemos que:
Então, substituindo
na equação da derivada:
Simplificando:
Essa equação é complexa para resolver analiticamente, então vamos resolver numericamente.
Passo 7
Para resolver numericamente, podemos usar métodos iterativos ou programar uma pequena rotina. Mas aqui, vamos fazer uma aproximação.
Sabemos que
está entre 0 e 1. Vamos tentar alguns valores:
- Para
:
Não é igual a 1, então precisamos de um valor maior.
- Para
:
Ainda menor que 1.
- Para
:
Menor que 1. Parece que precisamos de um método melhor ou mais termos para aproximar.
Passo 8
Vamos usar uma aproximação mais precisa. Podemos reescrever a equação:
Podemos usar uma tabela de valores ou uma calculadora para encontrar
que satisfaz essa equação.
Após alguns ajustes, encontramos que quando
:
Está próximo de 1. Vamos ajustar um pouco mais.
Passo 9
Utilizando uma calculadora mais precisa ou uma ferramenta de software, encontramos que
.
Substituindo de volta:
Resposta
O valor numérico de
no qual o segundo ponto fixo do mapa seno
se torna instável é aproximadamente
.