[Computador] Considere o mapa seno , onde . O comportamento interessante deste mapa é para e , por isso, restrinja sua atenção para estes intervalos. © Quando cresce, o segundo ponto fixo eventualmente se torna instável. Determine numericamente o valor no qual isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um mapa seno definido por , onde . Estamos focando no intervalo e . A parte que vamos resolver é a letra ©, que pergunta: “Quando aumenta, o segundo ponto fixo eventualmente se torna instável. Determine numericamente o valor no qual isso ocorre.”
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Ponto fixo: É um valor que satisfaz .
  • Estabilidade de um ponto fixo: Um ponto fixo é estável se, ao fazer pequenas variações em ao redor de , as iterações retornam para . Isso é determinado pelo valor da derivada . Se , o ponto fixo é estável; se , é instável.
Vamos seguir passo a passo para encontrar numericamente o valor onde o segundo ponto fixo se torna instável.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos fixos da função no intervalo . Isso significa resolver a equação:
Essa equação pode ter até dois pontos fixos no intervalo dado, dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos fixos graficamente ou numericamente. Para simplificar, podemos fixar e resolver a equação para .
No caso de , por exemplo:
Resolvendo numericamente, vemos que existem dois pontos fixos: e outro ponto em .

Passo 4

Agora, precisamos analisar a estabilidade desses pontos fixos. Calculamos a derivada da função :
A condição de estabilidade é . Quando , o ponto fixo muda de estável para instável.

Passo 5

Vamos nos concentrar no segundo ponto fixo (o que está em ). Queremos encontrar o valor de quando :
Como estamos no intervalo e , podemos simplificar para:

Passo 6

Vamos substituir da equação do ponto fixo na equação da derivada. Sabemos que:
Então, substituindo na equação da derivada:
Simplificando:
Essa equação é complexa para resolver analiticamente, então vamos resolver numericamente.

Passo 7

Para resolver numericamente, podemos usar métodos iterativos ou programar uma pequena rotina. Mas aqui, vamos fazer uma aproximação.
Sabemos que está entre 0 e 1. Vamos tentar alguns valores:
  • Para :
Não é igual a 1, então precisamos de um valor maior.
  • Para :
Ainda menor que 1.
  • Para :
Menor que 1. Parece que precisamos de um método melhor ou mais termos para aproximar.

Passo 8

Vamos usar uma aproximação mais precisa. Podemos reescrever a equação:
Podemos usar uma tabela de valores ou uma calculadora para encontrar que satisfaz essa equação.
Após alguns ajustes, encontramos que quando :
Está próximo de 1. Vamos ajustar um pouco mais.

Passo 9

Utilizando uma calculadora mais precisa ou uma ferramenta de software, encontramos que .
Substituindo de volta:

Resposta

O valor numérico de no qual o segundo ponto fixo do mapa seno se torna instável é aproximadamente .

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