Considere um oscilador harmônico simples não amortecido e não forçado - uma massa
presa a uma extremidade de uma mola, cuja constante da força é
. (b) Obtenha a energia total do sistema e use a conservação da energia para mostrar que a órbita no espaço de estados é uma elipse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um oscilador harmônico simples que não tem amortecimento nem força externa agindo sobre ele. Basicamente, temos uma massa m presa a uma mola com constante elástica k. O que precisamos fazer aqui é encontrar a energia total do sistema e, usando a conservação da energia, mostrar que a trajetória no espaço de estados (que relaciona posição e velocidade) forma uma elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a energia potencial armazenada na mola. Sempre que você estica ou comprime a mola, ela armazena energia. A fórmula para a energia potencial U de uma mola é:
Aqui, k é a constante da mola e x é a distância que a mola foi esticada ou comprimida a partir da posição de equilíbrio.
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia cinética da massa m. Quando a massa está se movendo, ela tem energia cinética devido à sua velocidade. A fórmula para a energia cinética K é:
Onde m é a massa e v é a velocidade da massa.
Passo 4
A energia total do sistema é a soma da energia potencial e da energia cinética. Então, juntando as duas equações que vimos:
Essa é a expressão para a energia total E do sistema de oscilador harmônico.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a conservação da energia. No caso de um oscilador harmônico simples sem amortecimento e sem forças externas, a energia total do sistema permanece constante ao longo do tempo. Isso significa que, mesmo que a energia se converta de potencial para cinética e vice-versa, a soma das duas sempre será a mesma.
Passo 6
Vamos pensar agora no espaço de estados, que é um gráfico que relaciona a posição x da massa com sua velocidade v. Cada ponto nesse gráfico representa o estado do sistema em um determinado momento. Queremos mostrar que a trajetória desse sistema nesse espaço forma uma elipse.
Passo 7
Usando a equação da energia total que encontramos:
Podemos reorganizar essa equação para ter:
Se dividirmos todos os termos por E, teremos:
Essa é a equação padrão de uma elipse, onde x e v são as coordenadas no espaço de estados, e os denominadores representam os quadrados dos semi-eixos da elipse.
Resposta
A energia total do sistema é dada por
Usando a conservação da energia, a trajetória no espaço de estados (posição x vs. velocidade v) satisfaz a equação
Isso mostra que a órbita no espaço de estados é uma elipse.