Considere a equação não linear de primeira ordem
. (a) Por separação de variáveis, determine uma solução
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por
. Essa equação está no contexto de equações diferenciais, e para resolvê-la vamos usar a técnica de separação de variáveis. Basicamente, vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação para separar as variáveis
e
. A equação original é:
Vamos isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve
, e a do lado direito envolve
:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Primeiro, a integral do lado esquerdo. Vamos simplificar:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 5
Agora, a integral do lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Juntando os resultados das integrais, temos:
Para resolver
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Então:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante de integração.