Considere a equação não linear de primeira ordem . (a) Por separação de variáveis, determine uma solução .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por . Essa equação está no contexto de equações diferenciais, e para resolvê-la vamos usar a técnica de separação de variáveis. Basicamente, vamos separar os termos que envolvem dos que envolvem para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação para separar as variáveis e . A equação original é:
Vamos isolar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve , e a do lado direito envolve :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Primeiro, a integral do lado esquerdo. Vamos simplificar:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 5

Agora, a integral do lado direito:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
Para resolver , vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Então:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante de integração.

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