A origem da força de arrasto quadrática sobre qualquer partícula em um fluido é a inércia do fluido que o projétil impulsiona. (a) Considerando que o projétil tem uma área de seção transversal
(normal à sua velocidade) e velocidade
, e que a densidade do fluido é
, mostre que a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido (massa/tempo) é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos! A questão pede para mostrarmos que a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido é dada por
, onde
é a densidade do fluido,
é a área de seção transversal do projétil e
é a velocidade dele. Para isso, vamos precisar entender como a massa do fluido interagindo com o projétil varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa a taxa de massa. Taxa de massa é a quantidade de massa que passa por uma certa área em um determinado tempo. Nesse caso, queremos saber quanta massa de fluido está sendo “empurrada” pelo projétil conforme ele se move.
Passo 3
Sabemos que a densidade do fluido,
, é a massa por unidade de volume. Então, para encontrar a massa do fluido que passa pela área
, precisamos multiplicar a densidade pelo volume que passa por essa área em um tempo
.
Passo 4
O volume que passa pela área
em um tempo
pode ser calculado como a área multiplicada pela distância que o projétil percorre nesse tempo. Como a velocidade é
, a distância percorrida em um tempo
é
. Portanto, o volume
é:
Passo 5
Agora, para encontrar a massa do fluido que passa pela área
nesse tempo, multiplicamos o volume
pela densidade
:
Passo 6
A taxa de massa, que é a massa por unidade de tempo, é dada por:
Resposta
Portanto, a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido é
.