Um jogador de golfe atinge uma bola com velocidade com um ângulo acima do solo horizontal. Assumindo que o ângulo é fixo e que a resistência do ar pode ser desprezada, qual é a menor velocidade para a qual a bola irá sobrepor uma parede de altura , afastada a uma distância . Sua solução deve ter problemas se o ângulo for tal que . Explique. Qual é o valor de ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um jogador de golfe que chuta uma bola com uma velocidade inicial e um ângulo acima do solo. Queremos descobrir a menor velocidade necessária para que a bola consiga passar por cima de uma parede de altura , que está a uma distância do ponto de onde a bola foi chutada. Vamos usar conceitos de movimento de projéteis e trigonometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a trajetória da bola. Quando a bola é chutada, ela segue uma trajetória parabólica descrita pelas equações do movimento uniformemente acelerado. As componentes horizontal e vertical da velocidade inicial são:

Passo 3

Como não há resistência do ar, a velocidade horizontal permanece constante. O tempo que a bola leva para percorrer a distância até a parede é dado por:

Passo 4

Agora, vamos calcular a altura da bola no instante em que ela está na parede. A posição vertical da bola é dada pela equação:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Para a bola passar sobre a parede, a altura deve ser pelo menos igual à altura da parede :
Vamos resolver essa desigualdade para :
Então, a menor velocidade é:

Passo 6

A questão também menciona que a solução não funciona se for tal que . Isso porque, se o ângulo for muito pequeno, a trajetória da bola nunca alcançará a altura antes de atingir a distância , tornando impossível passar sobre a parede.

Passo 7

Agora, vamos calcular usando os valores fornecidos: , m, m e m/s².
Primeiro, calculamos e :
Substituindo na fórmula:
Calculando o denominador dentro da raiz:
Agora, o numerador:
Finalmente:

Resposta

A menor velocidade inicial necessária é aproximadamente m/s.

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