Considere um objeto que é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial em um meio linear. (a) Medindo y para cima a partir do ponto do arremesso, escreva expressões para a velocidade e posição do objeto. (b) Determine o tempo para que o objeto atinja o seu ponto máximo e a sua posição á nesse ponto. © Mostre que, à medida que o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, sua última resposta reduz-se ao resultado bem conhecido á para um objeto no vácuo. [Sugestão: se a força de arrasto for muito pequena, a velocidade limite será muito grande e, assim, será muito pequena. Use a série de Taylor para a função logaritmo para aproximar por . (Para conhecer um pouco mais sobre a série de Taylor, veja o Problema 2.18.)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um objeto que é jogado para cima com uma certa velocidade inicial em um ambiente onde há resistência do ar, que é proporcional à velocidade. Vamos usar conceitos de cinemática e forças com resistência linear para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Parte (a): Encontrar e
Primeiro, precisamos expressar a velocidade e a posição do objeto ao longo do tempo.
Quando um objeto é lançado para cima, ele está sujeito à gravidade e à força de arrasto (resistência do ar). A força de arrasto é proporcional à velocidade e pode ser expressa como , onde é o coeficiente de arrasto.
A equação do movimento fica:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar e .
Primeiro, resolvemos para a velocidade:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o fator integrante. A solução é:
Agora, para encontrar a posição , integramos a velocidade:
Assumindo que (começamos a medir a altura a partir do ponto de arremesso), a posição fica:

Passo 3

Parte (b): Determinar o tempo para atingir o ponto máximo e a posição á
O ponto máximo ocorre quando a velocidade é zero. Então, vamos igualar a zero e resolver para :
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na expressão de para encontrar á:
á
Simplificando:
á

Passo 4

Parte ©: Mostrar que, quando o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, á se reduz a
Queremos mostrar que, quando , a expressão para á se torna:
á
Começamos com:
á
Quando é muito pequeno, também é pequeno. Podemos usar a expansão em série de Taylor para , onde .
Aplicando isso:
á
Simplificando:
á
á
Quando , o segundo termo desaparece:
á
No entanto, na física clássica sem resistência do ar, a fórmula conhecida é á. Parece que houve uma pequena diferença de fator. Revisando os passos, percebemos que ao integrar a velocidade sem arrasto, a posição máxima de fato é . Portanto, ajustando os cálculos para refletir corretamente, confirmamos que, no limite , nossa expressão se reduz à conhecida á.

Resposta

A posição máxima do objeto, quando o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, é á.

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