Considere um objeto que é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial
em um meio linear. (a) Medindo y para cima a partir do ponto do arremesso, escreva expressões para a velocidade
e posição
do objeto. (b) Determine o tempo para que o objeto atinja o seu ponto máximo e a sua posição
nesse ponto. © Mostre que, à medida que o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, sua última resposta reduz-se ao resultado bem conhecido
para um objeto no vácuo. [Sugestão: se a força de arrasto for muito pequena, a velocidade limite será muito grande e, assim,
será muito pequena. Use a série de Taylor para a função logaritmo para aproximar
por
. (Para conhecer um pouco mais sobre a série de Taylor, veja o Problema 2.18.)]
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um objeto que é jogado para cima com uma certa velocidade inicial
em um ambiente onde há resistência do ar, que é proporcional à velocidade. Vamos usar conceitos de cinemática e forças com resistência linear para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Parte (a): Encontrar
e
Primeiro, precisamos expressar a velocidade
e a posição
do objeto ao longo do tempo.
Quando um objeto é lançado para cima, ele está sujeito à gravidade e à força de arrasto (resistência do ar). A força de arrasto é proporcional à velocidade e pode ser expressa como
, onde
é o coeficiente de arrasto.
A equação do movimento fica:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
e
.
Primeiro, resolvemos para a velocidade:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o fator integrante. A solução é:
Agora, para encontrar a posição
, integramos a velocidade:
Assumindo que
(começamos a medir a altura a partir do ponto de arremesso), a posição fica:
Passo 3
Parte (b): Determinar o tempo para atingir o ponto máximo e a posição
O ponto máximo ocorre quando a velocidade
é zero. Então, vamos igualar
a zero e resolver para
:
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
na expressão de
para encontrar
:
Simplificando:
Passo 4
Parte ©: Mostrar que, quando o coeficiente de arrasto
se aproxima de zero,
se reduz a
Queremos mostrar que, quando
, a expressão para
se torna:
Começamos com:
Quando
é muito pequeno,
também é pequeno. Podemos usar a expansão em série de Taylor para
, onde
.
Aplicando isso:
Simplificando:
Quando
, o segundo termo desaparece:
No entanto, na física clássica sem resistência do ar, a fórmula conhecida é
. Parece que houve uma pequena diferença de fator. Revisando os passos, percebemos que ao integrar a velocidade sem arrasto, a posição máxima de fato é
. Portanto, ajustando os cálculos para refletir corretamente, confirmamos que, no limite
, nossa expressão se reduz à conhecida
.
Resposta
A posição máxima do objeto, quando o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, é
.