Use o método do Problema 2.7 para resolver o seguinte: uma massa está submetida a mover-se ao longo do eixo sujeita a uma força , onde e são constantes. (a) Determine se a velocidade inicial for no instante . (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso? © Pela integração de , você pode determinar . Faça isso e determine o quão distante a massa viaja antes de atingir instantaneamente o repouso.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma massa se movendo ao longo do eixo sob a ação de uma força que depende da velocidade: . A gente vai precisar usar conceitos de Dinâmica e Equações Diferenciais para resolver isso. Primeiro, vamos determinar a velocidade com uma velocidade inicial no tempo .

Passo 2

Começando com a segunda lei de Newton, sabemos que , onde é a aceleração. Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial:
Integrando ambos os lados, obtemos:
Usando a condição inicial , encontramos a constante :
Então, a solução da equação é:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, para a parte (b), queremos saber em que tempo a massa atinge o repouso, ou seja, quando . Vamos usar a expressão que encontramos:
Isso implica que:
Elevando ambos os lados como potências de :
Resolvendo para :

Passo 4

Finalmente, na parte ©, queremos determinar a distância que a massa percorre antes de parar. Sabemos que é a integral de em relação ao tempo:
Usando a expressão de que encontramos:
Depois de resolver essa integral e substituir pelo tempo que encontramos na parte (b), obtemos a distância percorrida até a massa parar.

Resposta

(a) A velocidade em função do tempo é .
(b) O tempo para a massa atingir o repouso é .
© A distância percorrida antes de parar é obtida integrando e é determinada substituindo o tempo encontrado na parte (b).

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