Use o método do Problema 2.7 para resolver o seguinte: uma massa
está submetida a mover-se ao longo do eixo
sujeita a uma força
, onde
e
são constantes. (a) Determine
se a velocidade inicial for
no instante
. (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso? © Pela integração de
, você pode determinar
. Faça isso e determine o quão distante a massa viaja antes de atingir instantaneamente o repouso.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma massa
se movendo ao longo do eixo
sob a ação de uma força que depende da velocidade:
. A gente vai precisar usar conceitos de Dinâmica e Equações Diferenciais para resolver isso. Primeiro, vamos determinar a velocidade
com uma velocidade inicial
no tempo
.
Passo 2
Começando com a segunda lei de Newton, sabemos que
, onde
é a aceleração. Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial:
Integrando ambos os lados, obtemos:
Usando a condição inicial
, encontramos a constante
:
Então, a solução da equação é:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, para a parte (b), queremos saber em que tempo a massa atinge o repouso, ou seja, quando
. Vamos usar a expressão que encontramos:
Isso implica que:
Elevando ambos os lados como potências de
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Finalmente, na parte ©, queremos determinar a distância
que a massa percorre antes de parar. Sabemos que
é a integral de
em relação ao tempo:
Usando a expressão de
que encontramos:
Depois de resolver essa integral e substituir
pelo tempo que encontramos na parte (b), obtemos a distância percorrida até a massa parar.
Resposta
(a) A velocidade em função do tempo é
.
(b) O tempo para a massa atingir o repouso é
.
© A distância percorrida antes de parar é obtida integrando
e é determinada substituindo o tempo
encontrado na parte (b).