Considere o movimento caótico de um PAF para o qual o expoente de Lyapunov é
, com o tempo medido em unidade do período motriz, como usualmente. (Isso é muito grosseiramente o valor encontrado no Problema 12.13.) (a) Suponha que você precise prever
com uma acurácia de
rad e que você conheça o valor inicial
com uma acurácia de
radianos. Qual é o tempo máximo
para o qual você pode prever
dentro da acurácia exigida? Este
é, algumas vezes, chamado de horizonte de tempo para previsão dentro de uma acurácia especificada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo movimento caótico e queremos descobrir por quanto tempo conseguimos prever com precisão certa. Especificamente, estamos lidando com o expoente de Lyapunov (
), que nesse caso é igual a 1. O que precisamos é encontrar o tempo máximo (
) que conseguimos prever o ângulo
com uma precisão de
radianos, sabendo que o valor inicial
tem uma precisão de
radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria do caos e como os erros crescem em sistemas caóticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a incerteza ou o erro na previsão evolui ao longo do tempo em sistemas caóticos. Em tais sistemas, pequenas incertezas no estado inicial podem crescer exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve esse crescimento é:
Aqui:
-
é a incerteza no tempo , -
é a incerteza inicial, -
é o expoente de Lyapunov, -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o tempo máximo
onde a incerteza
não excede
radianos, dado que a incerteza inicial
é
radianos. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos resolver para
. Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por
:
Simplificando o lado esquerdo:
Então, temos:
Passo 5
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Calculando o valor:
Resposta
O tempo máximo
para prever
dentro da acurácia exigida é aproximadamente 9,21 períodos motriz.