Considere o movimento caótico de um PAF para o qual o expoente de Lyapunov é , com o tempo medido em unidade do período motriz, como usualmente. (Isso é muito grosseiramente o valor encontrado no Problema 12.13.) (a) Suponha que você precise prever com uma acurácia de rad e que você conheça o valor inicial com uma acurácia de radianos. Qual é o tempo máximo á para o qual você pode prever dentro da acurácia exigida? Este á é, algumas vezes, chamado de horizonte de tempo para previsão dentro de uma acurácia especificada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo movimento caótico e queremos descobrir por quanto tempo conseguimos prever com precisão certa. Especificamente, estamos lidando com o expoente de Lyapunov ( ), que nesse caso é igual a 1. O que precisamos é encontrar o tempo máximo ( á) que conseguimos prever o ângulo com uma precisão de radianos, sabendo que o valor inicial tem uma precisão de radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria do caos e como os erros crescem em sistemas caóticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a incerteza ou o erro na previsão evolui ao longo do tempo em sistemas caóticos. Em tais sistemas, pequenas incertezas no estado inicial podem crescer exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve esse crescimento é:
Aqui:
  • é a incerteza no tempo ,
  • é a incerteza inicial,
  • é o expoente de Lyapunov,
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tempo máximo á onde a incerteza não excede radianos, dado que a incerteza inicial é radianos. Vamos substituir esses valores na fórmula:
á

Passo 4

Agora, precisamos resolver para á. Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por :
á
Simplificando o lado esquerdo:
Então, temos:
á

Passo 5

Para resolver para á, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
á
Sabemos que , então:
á
Calculando o valor:
á

Resposta

O tempo máximo á para prever dentro da acurácia exigida é aproximadamente 9,21 períodos motriz.

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