Considere o mapa iterativo
, onde
. (b) Mostre que
tende a um ponto fixo estável se e somente se
. O intervalo
é chamado de base do atrator, visto que todas as sequências
que se iniciam na “base” estão atreladas ao mesmo atrator.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um mapa iterativo definido por
, onde a função
. O objetivo aqui é mostrar que a sequência
vai convergir para um ponto fixo estável se e somente se o valor inicial
estiver entre -1 e 1, ou seja,
. Esse intervalo é chamado de base do atrator, porque todas as sequências que começam nesse intervalo acabam indo para o mesmo ponto fixo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos, estabilidade e como analisar a convergência de sequências definidas por funções iterativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo
de uma função
é um valor que satisfaz
. Ou seja, se a sequência atingir esse ponto, ela vai continuar nesse valor.
Vamos encontrar os pontos fixos da nossa função
:
Então, os pontos fixos são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a estabilidade desses pontos fixos. Um ponto fixo é estável se, começando próximo a ele, a sequência vai convergir para ele. Para verificar a estabilidade, calculamos a derivada da função
no ponto fixo e analisamos seu valor absoluto:
- Se
, o ponto fixo é estável. - Se
, o ponto fixo é instável. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, avaliamos nos pontos fixos:
-
Para
: Então,é um ponto fixo estável. -
Para
: Então,é um ponto fixo instável.
Passo 4
Agora que identificamos que
é o único ponto fixo estável, precisamos mostrar que a sequência
converge para 0 se e somente se
.
Vamos analisar o comportamento da sequência dependendo do valor inicial
:
-
Se
: - Vamos ver o que acontece com
. - Como
, ao elevar ao quadrado, . - Portanto, a sequência está diminuindo em magnitude e se aproximando de 0.
- Vamos ver o que acontece com
-
Se
: -
ou . - A sequência fica presa em 1, que é um ponto fixo instável.
-
-
Se
: -
. - A sequência cresce sem limites, afastando-se de 0.
-
Assim, apenas quando
a sequência
tende a 0, o ponto fixo estável.
Resposta
Portanto,
tende a um ponto fixo estável (0) se e somente se o valor inicial
estiver no intervalo
. Esse intervalo é conhecido como a base do atrator, já que todas as sequências que começam dentro dele convergem para o mesmo atrator, que nesse caso é o ponto fixo estável 0.