Considere o mapa iterativo , onde . (b) Mostre que tende a um ponto fixo estável se e somente se . O intervalo é chamado de base do atrator, visto que todas as sequências que se iniciam na “base” estão atreladas ao mesmo atrator.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um mapa iterativo definido por , onde a função . O objetivo aqui é mostrar que a sequência vai convergir para um ponto fixo estável se e somente se o valor inicial estiver entre -1 e 1, ou seja, . Esse intervalo é chamado de base do atrator, porque todas as sequências que começam nesse intervalo acabam indo para o mesmo ponto fixo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos, estabilidade e como analisar a convergência de sequências definidas por funções iterativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo de uma função é um valor que satisfaz . Ou seja, se a sequência atingir esse ponto, ela vai continuar nesse valor.
Vamos encontrar os pontos fixos da nossa função :
Então, os pontos fixos são e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a estabilidade desses pontos fixos. Um ponto fixo é estável se, começando próximo a ele, a sequência vai convergir para ele. Para verificar a estabilidade, calculamos a derivada da função no ponto fixo e analisamos seu valor absoluto:
  • Se , o ponto fixo é estável.
  • Se , o ponto fixo é instável.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular a derivada de :
Agora, avaliamos nos pontos fixos:
  1. Para :
    Então, é um ponto fixo estável.
  2. Para :
    Então, é um ponto fixo instável.

Passo 4

Agora que identificamos que é o único ponto fixo estável, precisamos mostrar que a sequência converge para 0 se e somente se .
Vamos analisar o comportamento da sequência dependendo do valor inicial :
  1. Se :
    • Vamos ver o que acontece com .
    • Como , ao elevar ao quadrado, .
    • Portanto, a sequência está diminuindo em magnitude e se aproximando de 0.
  2. Se :
    • ou .
    • A sequência fica presa em 1, que é um ponto fixo instável.
  3. Se :
    • .
    • A sequência cresce sem limites, afastando-se de 0.
Assim, apenas quando a sequência tende a 0, o ponto fixo estável.

Resposta

Portanto, tende a um ponto fixo estável (0) se e somente se o valor inicial estiver no intervalo . Esse intervalo é conhecido como a base do atrator, já que todas as sequências que começam dentro dele convergem para o mesmo atrator, que nesse caso é o ponto fixo estável 0.

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