Considere a equação não linear de primeira ordem
. © Mostre que, embora
e
sejam soluções, nem
, nem
, nem
são soluções. (Isto é, o princípio da superposição não se aplica a esta equação.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de primeira ordem e não linear:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo
. O conteúdo que vamos utilizar envolve equações diferenciais não lineares e o princípio da superposição. Para resolver essa questão, precisamos entender por que a superposição não funciona nesse caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é o princípio da superposição. Em equações diferenciais lineares, se
e
são soluções, então qualquer combinação linear delas, como
, também é solução. Isso facilita muito a resolução de equações lineares.
Passo 3
No entanto, nossa equação
é não linear devido à presença da raiz quadrada. Em equações não lineares, o princípio da superposição geralmente não se aplica. Ou seja, mesmo que
e
sejam soluções, combinações como
,
ou
não necessariamente serão soluções.
Passo 4
Vamos verificar isso na prática. Suponha que
e
sejam soluções da equação original. Vamos testar se
é uma solução:
Substituindo
na equação:
Isso simplifica para:
Sabemos que
, então:
Essa igualdade só será verdadeira para valores específicos de
e
, não para todos. Portanto,
não é uma solução geral da equação.
Passo 5
Agora, vamos testar
:
Substituindo
na equação:
Isso simplifica para:
Sabemos que
e
, então:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os
, precisaríamos que:
No entanto, essa igualdade geralmente não é verdadeira a menos que uma das soluções seja constante, o que não é o caso aqui. Portanto,
também não é uma solução geral.
Resposta
Assim, mostramos que nem
, nem
, nem
são soluções da equação diferencial
. Portanto, o princípio da superposição não se aplica a essa equação não linear.