Considere a equação não linear de primeira ordem . © Mostre que, embora e sejam soluções, nem , nem , nem são soluções. (Isto é, o princípio da superposição não se aplica a esta equação.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de primeira ordem e não linear:
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo . O conteúdo que vamos utilizar envolve equações diferenciais não lineares e o princípio da superposição. Para resolver essa questão, precisamos entender por que a superposição não funciona nesse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o princípio da superposição. Em equações diferenciais lineares, se e são soluções, então qualquer combinação linear delas, como , também é solução. Isso facilita muito a resolução de equações lineares.

Passo 3

No entanto, nossa equação é não linear devido à presença da raiz quadrada. Em equações não lineares, o princípio da superposição geralmente não se aplica. Ou seja, mesmo que e sejam soluções, combinações como , ou não necessariamente serão soluções.

Passo 4

Vamos verificar isso na prática. Suponha que e sejam soluções da equação original. Vamos testar se é uma solução:
Substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Sabemos que , então:
Essa igualdade só será verdadeira para valores específicos de e , não para todos. Portanto, não é uma solução geral da equação.

Passo 5

Agora, vamos testar :
Substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Sabemos que e , então:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os , precisaríamos que:
No entanto, essa igualdade geralmente não é verdadeira a menos que uma das soluções seja constante, o que não é o caso aqui. Portanto, também não é uma solução geral.

Resposta

Assim, mostramos que nem , nem , nem são soluções da equação diferencial . Portanto, o princípio da superposição não se aplica a essa equação não linear.

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