Considere uma equação de segunda ordem linear e inomogênea da forma
Seja
uma solução (uma solução “particular”) desta equação; mostre que qualquer solução
pode ser escrita como
onde
e
são duas soluções independentes da equação homogênea correspondente - isto é, (12.59) sem
. [Sugestão: obtenha as equações para
e
e subtraia.] Este resultado mostra que, para determinar todas as soluções de (12.59), temos apenas que determinar uma solução particular e duas soluções independentes da equação homogênea correspondente. (a) Explique claramente por que o resultado demonstrado no item (a) não é, em geral, verdadeiro para equações não lineares, como
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem e não homogênea da forma:
Nosso objetivo é mostrar que qualquer solução dessa equação pode ser escrita como a soma de uma solução particular
e uma combinação linear de duas soluções independentes
e
da equação homogênea correspondente (ou seja, sem o termo
). Para isso, precisaremos entender conceitos como soluções particulares, soluções homogêneas e a superposição de soluções em equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação original e a equação homogênea correspondente:
Equação não homogênea:
Equação homogênea:
Sabemos que
é uma solução particular da equação não homogênea, ou seja:
Agora, suponha que
seja uma solu��ão geral da equação não homogênea. Podemos escrever
como:
Onde
é a solução da equação homogênea. Vamos substituir essa expressão na equação não homogênea:
Sabendo que
satisfaz a equação não homogênea, temos:
Portanto, substituindo na equação anterior:
Subtraindo
dos dois lados:
Isso mostra que
satisfaz a equação homogênea. Sabemos que a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções independentes
e
:
Portanto, a solução geral da equação não homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos abordar o item (a) do exercício, que pergunta por que esse resultado não é geralmente verdadeiro para equações não lineares. Consideremos a equação não linear dada:
A diferença fundamental aqui é que a equação não é mais linear devido à presença do termo
. Em equações lineares, a superposição de soluções é válida porque a combinação linear das soluções satisfaz a equação. No entanto, em equações não lineares, como essa, a superposição não funciona.
Vamos ver por quê: se
e
são soluções da equação não linear, a soma
não necessariamente será uma solução, porque ao substituir
na equação, teremos termos como
, que não podem ser simplificados em uma combinação linear de
,
, etc. Portanto, a propriedade de superposição não se aplica, e a estrutura das soluções se torna muito mais complicada.
Resposta
Em resumo, o resultado de que qualquer solução da equação diferencial linear não homogênea pode ser escrita como a soma de uma solução particular e uma combinação linear de soluções da equação homogênea não é válido para equações não lineares, pois a superposição de soluções não funciona devido à presença de termos não lineares que impedem a simplificação da combinação das soluções.