Considere uma equação de segunda ordem linear e inomogênea da forma
Seja uma solução (uma solução “particular”) desta equação; mostre que qualquer solução pode ser escrita como
onde e são duas soluções independentes da equação homogênea correspondente - isto é, (12.59) sem . [Sugestão: obtenha as equações para e e subtraia.] Este resultado mostra que, para determinar todas as soluções de (12.59), temos apenas que determinar uma solução particular e duas soluções independentes da equação homogênea correspondente. (a) Explique claramente por que o resultado demonstrado no item (a) não é, em geral, verdadeiro para equações não lineares, como

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem e não homogênea da forma:
Nosso objetivo é mostrar que qualquer solução dessa equação pode ser escrita como a soma de uma solução particular e uma combinação linear de duas soluções independentes e da equação homogênea correspondente (ou seja, sem o termo ). Para isso, precisaremos entender conceitos como soluções particulares, soluções homogêneas e a superposição de soluções em equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação original e a equação homogênea correspondente:
Equação não homogênea:
Equação homogênea:
Sabemos que é uma solução particular da equação não homogênea, ou seja:
Agora, suponha que seja uma solu��ão geral da equação não homogênea. Podemos escrever como:
Onde é a solução da equação homogênea. Vamos substituir essa expressão na equação não homogênea:
Sabendo que satisfaz a equação não homogênea, temos:
Portanto, substituindo na equação anterior:
Subtraindo dos dois lados:
Isso mostra que satisfaz a equação homogênea. Sabemos que a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções independentes e :
Portanto, a solução geral da equação não homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos abordar o item (a) do exercício, que pergunta por que esse resultado não é geralmente verdadeiro para equações não lineares. Consideremos a equação não linear dada:
A diferença fundamental aqui é que a equação não é mais linear devido à presença do termo . Em equações lineares, a superposição de soluções é válida porque a combinação linear das soluções satisfaz a equação. No entanto, em equações não lineares, como essa, a superposição não funciona.
Vamos ver por quê: se e são soluções da equação não linear, a soma não necessariamente será uma solução, porque ao substituir na equação, teremos termos como , que não podem ser simplificados em uma combinação linear de , , etc. Portanto, a propriedade de superposição não se aplica, e a estrutura das soluções se torna muito mais complicada.

Resposta

Em resumo, o resultado de que qualquer solução da equação diferencial linear não homogênea pode ser escrita como a soma de uma solução particular e uma combinação linear de soluções da equação homogênea não é válido para equações não lineares, pois a superposição de soluções não funciona devido à presença de termos não lineares que impedem a simplificação da combinação das soluções.

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