Considere uma equação de segunda ordem linear e homogênea da forma (12.6). (a) Obtenha uma demonstração detalhada do princípio da superposição, tal que se
e
forem soluções dessa equação, então também o será qualquer combinação linear
, onde
e
são duas constantes quaisquer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea, que vamos chamar de (12.6). O objetivo é demonstrar o princípio da superposição. Basicamente, isso significa que se você tem duas soluções dessa equação,
e
, qualquer combinação linear delas
também será uma solução, onde
e
são constantes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de segunda ordem linear e homogênea. Ela geralmente tem a seguinte forma:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
,
é a primeira derivada, e
,
,
são coeficientes constantes.
Passo 3
Sabemos que
e
são soluções dessa equação, ou seja:
Isso significa que, ao substituir cada uma dessas funções na equação, o resultado é zero.
Passo 4
Agora, vamos considerar uma combinação linear dessas soluções:
Nosso objetivo é mostrar que
também satisfaz a equação diferencial, ou seja, que:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Passo 7
Distribuindo os coeficientes:
Passo 8
Podemos reescrever agrupando termos com
e
:
Passo 9
Lembrando que
e
são soluções da equação diferencial, temos:
Passo 10
Substituindo esses resultados:
Resposta
Portanto,
também é uma solução da equação diferencial de segunda ordem linear e homogênea. Isso confirma o princípio da superposição.