Considere uma equação de segunda ordem linear e homogênea da forma (12.6). (a) Obtenha uma demonstração detalhada do princípio da superposição, tal que se e forem soluções dessa equação, então também o será qualquer combinação linear , onde e são duas constantes quaisquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea, que vamos chamar de (12.6). O objetivo é demonstrar o princípio da superposição. Basicamente, isso significa que se você tem duas soluções dessa equação, e , qualquer combinação linear delas também será uma solução, onde e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de segunda ordem linear e homogênea. Ela geralmente tem a seguinte forma:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo , é a primeira derivada, e , , são coeficientes constantes.

Passo 3

Sabemos que e são soluções dessa equação, ou seja:
Isso significa que, ao substituir cada uma dessas funções na equação, o resultado é zero.

Passo 4

Agora, vamos considerar uma combinação linear dessas soluções:
Nosso objetivo é mostrar que também satisfaz a equação diferencial, ou seja, que:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo , e na equação diferencial:

Passo 7

Distribuindo os coeficientes:

Passo 8

Podemos reescrever agrupando termos com e :

Passo 9

Lembrando que e são soluções da equação diferencial, temos:

Passo 10

Substituindo esses resultados:

Resposta

Portanto, também é uma solução da equação diferencial de segunda ordem linear e homogênea. Isso confirma o princípio da superposição.

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