Considere o mapa iterativo , onde . © Mostre que se e somente se . (Logo, poderíamos dizer que o mapa tem um segundo ponto fixo estável e que a base de atração para este ponto fixo é o conjunto .) Para um sistema caótico, a base de atração pode ser muito mais complicada do que estes exemplos e são frequentemente fractais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um mapa iterativo definido por , onde . A questão pede para mostrar que a sequência vai para o infinito se e somente se . Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta quando aplicamos repetidamente a ela e usar um pouco de lógica matemática básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa iterar a função . Começamos com um valor inicial e, a cada passo, elevamos o valor atual ao quadrado para obter o próximo termo da sequência. Ou seja:
E assim por diante, de forma geral:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa sequência dependendo do valor de :
  1. Se :
    • Vamos supor que , onde .
    • Então, .
    • O próximo termo será , que é ainda maior.
    • Repetindo esse processo, a cada iteração o valor de cresce exponencialmente, ou seja, tende para o infinito conforme aumenta.
  2. Se :
    • Se , então . A sequência permanece constante.
    • Se , então , e a partir daí a sequência também fica constante em 1.
    • Portanto, se , a sequência não tende para o infinito; ela permanece no valor 1.
  3. Se :
    • Vamos supor que , onde .
    • Então, .
    • O próximo termo será , que é ainda menor.
    • Repetindo esse processo, a cada iteração o valor de diminui, aproximando-se de zero conforme aumenta.

Passo 4

Com base nessa análise, concluímos que:
  • Se , a sequência tende para o infinito.
  • Se , a sequência não tende para o infinito (fica constante ou tende para zero).
Isso mostra que a condição é necessária e suficiente para que se aproxime do infinito.

Resposta

A sequência tende para o infinito se e somente se .

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