Considere o mapa iterativo
, onde
. © Mostre que
se e somente se
. (Logo, poderíamos dizer que o mapa tem um segundo ponto fixo estável
e que a base de atração para este ponto fixo é o conjunto
.) Para um sistema caótico, a base de atração pode ser muito mais complicada do que estes exemplos e são frequentemente fractais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um mapa iterativo definido por
, onde
. A questão pede para mostrar que a sequência
vai para o infinito se e somente se
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta quando aplicamos repetidamente a ela e usar um pouco de lógica matemática básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa iterar a função
. Começamos com um valor inicial
e, a cada passo, elevamos o valor atual ao quadrado para obter o próximo termo da sequência. Ou seja:
E assim por diante, de forma geral:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa sequência dependendo do valor de
:
-
Se
: - Vamos supor que
, onde . - Então,
. - O próximo termo será
, que é ainda maior. - Repetindo esse processo, a cada iteração o valor de
cresce exponencialmente, ou seja, tende para o infinito conforme aumenta.
- Vamos supor que
-
Se
: - Se
, então . A sequência permanece constante. - Se
, então , e a partir daí a sequência também fica constante em 1. - Portanto, se
, a sequência não tende para o infinito; ela permanece no valor 1.
- Se
-
Se
: - Vamos supor que
, onde . - Então,
. - O próximo termo será
, que é ainda menor. - Repetindo esse processo, a cada iteração o valor de
diminui, aproximando-se de zero conforme aumenta.
- Vamos supor que
Passo 4
Com base nessa análise, concluímos que:
- Se
, a sequência tende para o infinito. - Se
, a sequência não tende para o infinito (fica constante ou tende para zero).
Isso mostra que a condição
é necessária e suficiente para que
se aproxime do infinito.
Resposta
A sequência
tende para o infinito se e somente se
.