Um “cone redondo” é construído cortando-se uma esfera uniforme de raio e volume , onde é o ângulo medido a partir do eixo polar e é uma constante entre 0 e . (a) Descreva esse cone e use o resultado do Problema 10.4 para determinar seu volume.

Passo 1

Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de raio e vamos cortar essa esfera usando um ângulo que vai de 0 até um certo ângulo , que está entre 0 e radianos. O que a questão chama de “cone redondo” é basicamente essa parte da esfera que fica dentro desse ângulo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o volume dessa porção da esfera, usando um resultado de um problema anterior mencionado como Problema 10.4.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o “cone redondo”. Imagine uma bola perfeita. Se você pegar um ângulo a partir do polo (o topo da bola) e cortar a bola onde esse ângulo termina, a parte que fica de cima é o nosso “cone redondo”. Esse “cone” não é um cone comum, mas sim uma porção esférica limitada por esse ângulo.

Passo 3

Para calcular o volume desse cone redondo, precisamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com problemas que têm simetria esférica. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser definido por três valores: o raio , o ângulo polar e o ângulo azimutal .

Passo 4

O próximo passo é lembrar do cálculo de volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Mas como estamos lidando com uma esfera de raio fixo, não varia, então focamos em .

Passo 5

Agora, para encontrar o volume total do cone redondo, precisamos integrar esse elemento de volume sobre os limites definidos pelo ângulo de 0 a e de 0 a , já que a esfera completa gira 360 graus ao redor do eixo polar.

Passo 6

Então, montamos a integral para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Isso nos dá a parte em da integral.

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a :
Isso completa a integração em .

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais, temos:
Esse é o volume do nosso cone redondo.

Resposta

O volume do cone redondo é dado por:

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