Obtenha a integral para o momento de inércia de um elipsoide uniforme (massa
com superfície
em rotação em torno do eixo
. Uma forma simples de resolver essa integral é fazendo uma mudança de variáveis para
. Cada uma das duas integrais resultantes pode ser relacionada às integrais correspondentes sobre a esfera (como no Problema 10.11). Faça isso. Verifique sua resposta para o caso
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre momento de inércia de um elipsoide uniforme. A equação da superfície é
, e queremos achar o momento de inércia quando ele gira em torno do eixo
. Para isso, a gente vai precisar usar cálculo integral e fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integral. Também vamos comparar com o caso de uma esfera para conferir se nossa resposta está correta quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um objeto contínuo, a fórmula geral é:
Onde
é um elemento de massa. No nosso caso, como o elipsoide é uniforme, a densidade
é constante e podemos expressar
em termos das coordenadas
,
e
.
Passo 3
Vamos fazer a mudança de variáveis sugerida:
,
, e
. Isso transforma nossa equação da superfície para:
Que é a equação de uma esfera com raio 1. Essa mudança simplifica as integrais porque agora estamos trabalhando com uma esfera padrão.
Passo 4
Precisamos também ajustar o elemento de volume
para essas novas coordenadas. Sabendo que
,
, e
, o jacobiano da transformação é:
Então, o elemento de massa fica:
Passo 5
Agora, vamos expressar
nas novas coordenadas:
Podemos fatorar os termos constantes:
Onde
é o volume da esfera unitária.
Passo 6
Sabemos que, para uma esfera unitária, as integrais de
,
e
são iguais devido à simetria. E a soma delas é:
Como
, cada integral individual é
.
Passo 7
Substituindo de volta em
:
Passo 8
Agora, precisamos relacionar a massa
com a densidade
. O volume do elipsoide é:
Então,
, o que implica que
.
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 10
Vamos verificar para o caso
, que é uma esfera. Substituindo na fórmula:
Sabemos que o momento de inércia de uma esfera em relação a qualquer eixo é
. Notamos uma discrepância, o que sugere que houve um erro na simplificação. Na verdade, a integral correta para uma esfera deve levar em conta a distribuição uniforme. Revisando os passos, percebemos que cada integral
ou
para uma esfera unitária deveria ser
, não
. Reajustando:
Substituindo
:
Agora, para a esfera:
Que confirma o resultado correto para a esfera.
Resposta
O momento de inércia do elipsoide em rotação ao redor do eixo
é dado por: