Obtenha a integral para o momento de inércia de um elipsoide uniforme (massa com superfície em rotação em torno do eixo . Uma forma simples de resolver essa integral é fazendo uma mudança de variáveis para . Cada uma das duas integrais resultantes pode ser relacionada às integrais correspondentes sobre a esfera (como no Problema 10.11). Faça isso. Verifique sua resposta para o caso .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre momento de inércia de um elipsoide uniforme. A equação da superfície é , e queremos achar o momento de inércia quando ele gira em torno do eixo . Para isso, a gente vai precisar usar cálculo integral e fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integral. Também vamos comparar com o caso de uma esfera para conferir se nossa resposta está correta quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um objeto contínuo, a fórmula geral é:
Onde é um elemento de massa. No nosso caso, como o elipsoide é uniforme, a densidade é constante e podemos expressar em termos das coordenadas , e .

Passo 3

Vamos fazer a mudança de variáveis sugerida: , , e . Isso transforma nossa equação da superfície para:
Que é a equação de uma esfera com raio 1. Essa mudança simplifica as integrais porque agora estamos trabalhando com uma esfera padrão.

Passo 4

Precisamos também ajustar o elemento de volume para essas novas coordenadas. Sabendo que , , e , o jacobiano da transformação é:
Então, o elemento de massa fica:

Passo 5

Agora, vamos expressar nas novas coordenadas:
Podemos fatorar os termos constantes:
Onde é o volume da esfera unitária.

Passo 6

Sabemos que, para uma esfera unitária, as integrais de , e são iguais devido à simetria. E a soma delas é:
Como , cada integral individual é .

Passo 7

Substituindo de volta em :

Passo 8

Agora, precisamos relacionar a massa com a densidade . O volume do elipsoide é:
Então, , o que implica que .

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 10

Vamos verificar para o caso , que é uma esfera. Substituindo na fórmula:
Sabemos que o momento de inércia de uma esfera em relação a qualquer eixo é . Notamos uma discrepância, o que sugere que houve um erro na simplificação. Na verdade, a integral correta para uma esfera deve levar em conta a distribuição uniforme. Revisando os passos, percebemos que cada integral ou para uma esfera unitária deveria ser , não . Reajustando:
Substituindo :
Agora, para a esfera:
Que confirma o resultado correto para a esfera.

Resposta

O momento de inércia do elipsoide em rotação ao redor do eixo é dado por:

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