Um corpo rígido consiste de três massas presas nos pontos e . (a) Determine o tensor de inércia I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que temos um corpo rígido formado por três massas iguais, cada uma com massa , posicionadas nos pontos , e . A gente precisa determinar o tensor de inércia desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre momentos de inércia e tensor de inércia, que ajudam a descrever como a massa está distribuída em relação aos eixos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o tensor de inércia para um sistema de partículas é dado pela soma das contribuições de cada partícula. A fórmula geral é:
Aqui, é o vetor posição da -ésima massa em relação à origem, é a distância dessa massa do centro, é a matriz identidade, e representa o produto tensorial.

Passo 3

Vamos calcular para cada massa.
Para a primeira massa em :
Para a segunda massa em :
Para a terceira massa em :

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo para cada massa, que resulta em uma matriz 3x3.

Para a primeira massa em :
[
\vec{r}_1 \otimes \vec{r}_1 =


]

Para a segunda massa em :
[
\vec{r}_2 \otimes \vec{r}_2 =


]

Para a terceira massa em :
[
\vec{r}_3 \otimes \vec{r}_3 =


]

Passo 5

Agora vamos montar o tensor de inércia substituindo na fórmula:
Substituindo as matrizes que calculamos:

[
I = m \left[


\right]
  • m \left[

\right]
  • m \left[

\right]
]

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:

Primeiro termo:
[
m \left[

\right]

m
]

Segundo termo:
[
m \left[

\right]

m
]

Terceiro termo:
[
m \left[

\right]

m
]

Passo 7

Agora, vamos somar todos os termos:
Somando elemento a elemento:
Simplificando:

Resposta

O tensor de inércia do sistema é:

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