Um corpo rígido consiste de três massas presas nos pontos e . (a) Determine o tensor de inércia I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que temos um corpo rígido formado por três massas iguais, cada uma com massa , posicionadas nos pontos , e . A gente precisa determinar o tensor de inércia desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre momentos de inércia e tensor de inércia, que ajudam a descrever como a massa está distribuída em relação aos eixos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o tensor de inércia para um sistema de partículas é dado pela soma das contribuições de cada partícula. A fórmula geral é:
Aqui, é o vetor posição da -ésima massa em relação à origem, é a distância dessa massa do centro, é a matriz identidade, e representa o produto tensorial.
Passo 3
Vamos calcular para cada massa.
Para a primeira massa em :
Para a segunda massa em :
Para a terceira massa em :
Passo 4
Agora, vamos calcular o termo para cada massa, que resulta em uma matriz 3x3.
Para a primeira massa em :
[
\vec{r}_1 \otimes \vec{r}_1 =
]
Para a segunda massa em :
[
\vec{r}_2 \otimes \vec{r}_2 =
]
Para a terceira massa em :
[
\vec{r}_3 \otimes \vec{r}_3 =
]
Passo 5
Agora vamos montar o tensor de inércia substituindo na fórmula:
Substituindo as matrizes que calculamos:
[
I = m \left[
\right]
m \left[
\right]
m \left[
\right]
]
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
[
m \left[
\right]
m
]
Segundo termo:
[
m \left[
\right]
m
]
Terceiro termo:
[
m \left[
\right]
m
]
Passo 7
Agora, vamos somar todos os termos:
Somando elemento a elemento:
Simplificando:
Resposta
O tensor de inércia do sistema é:
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 10.Problemas - Ex. 10.36a