O conjugado hermitiano (ou adjunto) de um operador
é o operador
, tal que
(Um operador hermitiano, então, é igual ao seu conjugado hermitiano:
.)
Calcule os conjugados hermitianos de
e
.
Calcule os conjugados hermitianos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular os conjugados hermitianos dos operadores
,
e
. Isso envolve o conceito de operadores hermitianos e seus adjuntos, que são importantes na física e matemática, especialmente em mecânica quântica. Para resolver, vamos usar a definição de adjunto de um operador e algumas propriedades básicas de operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjugado hermitiano. O adjunto
de um operador
é definido pela relação:
Isso significa que, quando aplicamos
a uma função
e tiramos o produto interno com
, é o mesmo que aplicar
a
e depois tirar o produto interno com
.
Passo 3
Vamos calcular o conjugado hermitiano de
. O operador posição
é conhecido por ser hermitiano, ou seja,
. Isso ocorre porque, para funções bem comportadas, temos:
Portanto, o adjunto de
é ele mesmo.
Passo 4
Agora, vejamos o conjugado hermitiano de
, onde
é a unidade imaginária. Como operador,
multiplica a função por
. Para encontrar o adjunto, usamos a propriedade que o adjunto de um número complexo é seu conjugado:
Então, o conjugado hermitiano de
é
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular o conjugado hermitiano de
, que é o operador derivada. Para encontrar
, usamos integração por partes e assumimos que as funções vão a zero no infinito (condição de contorno nula):
Isso mostra que:
Então, o conjugado hermitiano de
é
.
Resposta
Os conjugados hermitianos são: