O conjugado hermitiano (ou adjunto) de um operador é o operador , tal que
(Um operador hermitiano, então, é igual ao seu conjugado hermitiano: .)
Calcule os conjugados hermitianos de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular os conjugados hermitianos dos operadores , e . Isso envolve o conceito de operadores hermitianos e seus adjuntos, que são importantes na física e matemática, especialmente em mecânica quântica. Para resolver, vamos usar a definição de adjunto de um operador e algumas propriedades básicas de operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjugado hermitiano. O adjunto de um operador é definido pela relação:
Isso significa que, quando aplicamos a uma função e tiramos o produto interno com , é o mesmo que aplicar a e depois tirar o produto interno com .

Passo 3

Vamos calcular o conjugado hermitiano de . O operador posição é conhecido por ser hermitiano, ou seja, . Isso ocorre porque, para funções bem comportadas, temos:
Portanto, o adjunto de é ele mesmo.

Passo 4

Agora, vejamos o conjugado hermitiano de , onde é a unidade imaginária. Como operador, multiplica a função por . Para encontrar o adjunto, usamos a propriedade que o adjunto de um número complexo é seu conjugado:
Então, o conjugado hermitiano de é .

Passo 5

Por fim, vamos calcular o conjugado hermitiano de , que é o operador derivada. Para encontrar , usamos integração por partes e assumimos que as funções vão a zero no infinito (condição de contorno nula):
Isso mostra que:
Então, o conjugado hermitiano de é .

Resposta

Os conjugados hermitianos são:

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