O conjugado hermitiano (ou adjunto) de um operador é o operador , tal que

(Um operador hermitiano, então, é igual ao seu conjugado hermitiano: .)
Demonstre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para demonstrar que o adjunto (ou conjugado hermitiano) de um produto de operadores, , é igual ao produto dos adjuntos nessa ordem invertida, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a operadores e seus adjuntos. Vamos precisar entender a definição de operador adjunto e como eles se comportam quando combinamos múltiplos operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é o operador adjunto. Dado um operador , seu adjunto é definido pela relação:
para quaisquer vetores e . Isso significa que o adjunto “transfere” o operador para o outro lado do produto interno.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o adjunto de um produto de dois operadores, . Vamos chamar esse produto de , ou seja, . Nosso objetivo é descobrir .

Passo 4

Aplicando a definição do adjunto a , temos:
Segundo a definição, isso deve ser igual a:
Então, temos:

Passo 5

Vamos manipular a expressão passo a passo. Primeiro, aplicamos o operador a :
Em seguida, aplicamos ao resultado:
Então, o produto interno fica:

Passo 6

Usando a definição do adjunto para o operador , sabemos que:
Ou seja, movemos para o outro lado do produto interno como .

Passo 7

Agora, aplicamos novamente a definição do adjunto, desta vez para o operador . Temos:
Aqui, movemos para o outro lado, resultando em .

Passo 8

Juntando tudo, conseguimos expressar:
Comparando com a definição inicial:
Concluímos que:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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