O conjugado hermitiano (ou adjunto) de um operador
é o operador
, tal que
(Um operador hermitiano, então, é igual ao seu conjugado hermitiano:
.)
Demonstre que
.
Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para demonstrar que o adjunto (ou conjugado hermitiano) de um produto de operadores,
, é igual ao produto dos adjuntos nessa ordem invertida, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a operadores e seus adjuntos. Vamos precisar entender a definição de operador adjunto e como eles se comportam quando combinamos múltiplos operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é o operador adjunto. Dado um operador
, seu adjunto
é definido pela relação:
para quaisquer vetores
e
. Isso significa que o adjunto “transfere” o operador para o outro lado do produto interno.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o adjunto de um produto de dois operadores,
. Vamos chamar esse produto de
, ou seja,
. Nosso objetivo é descobrir
.
Passo 4
Aplicando a definição do adjunto a
, temos:
Segundo a definição, isso deve ser igual a:
Então, temos:
Passo 5
Vamos manipular a expressão
passo a passo. Primeiro, aplicamos o operador
a
:
Em seguida, aplicamos
ao resultado:
Então, o produto interno fica:
Passo 6
Usando a definição do adjunto para o operador
, sabemos que:
Ou seja, movemos
para o outro lado do produto interno como
.
Passo 7
Agora, aplicamos novamente a definição do adjunto, desta vez para o operador
. Temos:
Aqui, movemos
para o outro lado, resultando em
.
Passo 8
Juntando tudo, conseguimos expressar:
Comparando com a definição inicial:
Concluímos que:
Resposta
Portanto, demonstramos que: