Suponha que
seja hermitiano e
seja um número complexo. Sob quais condições (em
é hermitano?
Passo 1
Então, a gente tem um operador
que é hermitiano e um número complexo
. A pergunta é: sob quais condições em
, o produto
também é hermitiano? Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores hermitianos, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser hermitiano. Um operador
é hermitiano se for igual ao seu adjunto, ou seja,
. Isso é importante porque operadores hermitianos têm propriedades especiais, como terem apenas valores próprios reais.
Passo 3
Agora, queremos saber quando
é hermitiano. Para isso, vamos calcular o adjunto de
. Sabemos que o adjunto de um produto de um escalar e um operador é dado por
, onde
é o conjugado complexo de
.
Passo 4
Como
é hermitiano, temos que
. Substituindo isso na expressão anterior, ficamos com
.
Passo 5
Para que
seja hermitiano, precisamos que
. Ou seja:
Passo 6
Como
não é o operador nulo, podemos dividir ambos os lados por
, chegando a:
Passo 7
A última equação
nos diz que
deve ser igual ao seu conjugado complexo. Isso só é verdade quando
é um número real, porque números complexos têm parte imaginária que muda de sinal no conjugado.
Resposta
O número
deve ser real para que
seja hermitiano.