Suponha que seja hermitiano e seja um número complexo. Sob quais condições (em é hermitano?

Passo 1

Então, a gente tem um operador que é hermitiano e um número complexo . A pergunta é: sob quais condições em , o produto também é hermitiano? Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores hermitianos, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser hermitiano. Um operador é hermitiano se for igual ao seu adjunto, ou seja, . Isso é importante porque operadores hermitianos têm propriedades especiais, como terem apenas valores próprios reais.

Passo 3

Agora, queremos saber quando é hermitiano. Para isso, vamos calcular o adjunto de . Sabemos que o adjunto de um produto de um escalar e um operador é dado por , onde é o conjugado complexo de .

Passo 4

Como é hermitiano, temos que . Substituindo isso na expressão anterior, ficamos com .

Passo 5

Para que seja hermitiano, precisamos que . Ou seja:

Passo 6

Como não é o operador nulo, podemos dividir ambos os lados por , chegando a:

Passo 7

A última equação nos diz que deve ser igual ao seu conjugado complexo. Isso só é verdade quando é um número real, porque números complexos têm parte imaginária que muda de sinal no conjugado.

Resposta

O número deve ser real para que seja hermitiano.

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