Demonstre que o operador de posição e o operador hamiltoniano são hermitianos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o operador de posição e o operador Hamiltoniano são operadores hermitianos. Isso está dentro do conteúdo de Mecânica Quântica, especificamente sobre operadores hermitianos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um operador ser hermitiano e aplicar isso aos operadores e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador hermitiano. Em mecânica quântica, um operador é hermitiano se ele for igual ao seu adjunto, ou seja, . Isso significa que, para todas as funções de onda e , temos:
Isso garante que os valores esperados das observações são reais, o que faz sentido fisicamente.

Passo 3

Vamos começar com o operador de posição . Precisamos verificar se .
Considerando duas funções de onda e :
E
Veja que os dois resultados são iguais, ou seja, é igual ao seu adjunto.

Passo 4

Agora, vamos para o operador Hamiltoniano .
Primeiro, analisamos o termo cinético: .
Para este operador ser hermitiano, precisamos que a integração por partes preserve os termos e que as condições de contorno sejam tais que os termos de fronteira se anulam (geralmente assumindo que as funções de onda vão a zero no infinito).
Aplicando a integração por partes duas vezes, observamos que:
Portanto, o termo cinético é hermitiano.

Passo 5

Agora, consideramos o potencial . Se for uma função real, então o operador de potencial é claramente hermitiano, já que:
Pois sendo real, .

Resposta

Assim, mostramos que tanto o operador de posição quanto o operador Hamiltoniano são hermitianos.

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