Demonstre que o operador de posição
e o operador hamiltoniano
são hermitianos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o operador de posição
e o operador Hamiltoniano
são operadores hermitianos. Isso está dentro do conteúdo de Mecânica Quântica, especificamente sobre operadores hermitianos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um operador ser hermitiano e aplicar isso aos operadores
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador hermitiano. Em mecânica quântica, um operador
é hermitiano se ele for igual ao seu adjunto, ou seja,
. Isso significa que, para todas as funções de onda
e
, temos:
Isso garante que os valores esperados das observações são reais, o que faz sentido fisicamente.
Passo 3
Vamos começar com o operador de posição
. Precisamos verificar se
.
Considerando duas funções de onda
e
:
E
Veja que os dois resultados são iguais, ou seja,
é igual ao seu adjunto.
Passo 4
Agora, vamos para o operador Hamiltoniano
.
Primeiro, analisamos o termo cinético:
.
Para este operador ser hermitiano, precisamos que a integração por partes preserve os termos e que as condições de contorno sejam tais que os termos de fronteira se anulam (geralmente assumindo que as funções de onda vão a zero no infinito).
Aplicando a integração por partes duas vezes, observamos que:
Portanto, o termo cinético é hermitiano.
Passo 5
Agora, consideramos o potencial
. Se
for uma função real, então o operador de potencial
é claramente hermitiano, já que:
Pois
sendo real,
.
Resposta
Assim, mostramos que tanto o operador de posição
quanto o operador Hamiltoniano
são hermitianos.