Mostre que se
para todas as funções
(no espaço de Hilbert), então
para toda
e
(isto é, as duas definições de ‘hermitiano’ - equações 3.16 e 3.17 - são equivalentes). Dica: primeiro faça
, e, então, faça
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que duas formas de definir um operador hermitiano são equivalentes. Em termos simples, um operador hermitiano é aquele que tem uma propriedade especial com os produtos internos das funções no espaço de Hilbert.
Aqui, a gente tem que provar que se para toda função
, a igualdade
é válida, então isso implica que para quaisquer funções
e
, também teremos
.
Vamos precisar entender como o operador atua nas combinações lineares de funções e usar as propriedades dos produtos internos. A dica do exercício sugere que a gente comece substituindo
por
e depois por
, onde
é a unidade imaginária.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar
. Substituindo isso na igualdade dada, temos:
Agora, vamos expandir os dois lados usando a linearidade do produto interno:
Como a igualdade deve ser válida para todas as funções, podemos igualar os termos correspondentes:
Passo 3
Agora, vamos fazer
. Substituindo na igualdade original:
Expandindo novamente:
Novamente, igualando os termos correspondentes:
Passo 4
Agora, temos duas equações:
Vamos simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, somando as duas equações, cancelam-se os termos com
e
, ficando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
Portanto, mostramos que se
para todas as funções
, então também
para quaisquer
e
. Assim, as duas definições de operador hermitiano são equivalentes.