Mostre que se para todas as funções (no espaço de Hilbert), então para toda e (isto é, as duas definições de ‘hermitiano’ - equações 3.16 e 3.17 - são equivalentes). Dica: primeiro faça , e, então, faça .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que duas formas de definir um operador hermitiano são equivalentes. Em termos simples, um operador hermitiano é aquele que tem uma propriedade especial com os produtos internos das funções no espaço de Hilbert.
Aqui, a gente tem que provar que se para toda função , a igualdade é válida, então isso implica que para quaisquer funções e , também teremos .
Vamos precisar entender como o operador atua nas combinações lineares de funções e usar as propriedades dos produtos internos. A dica do exercício sugere que a gente comece substituindo por e depois por , onde é a unidade imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar . Substituindo isso na igualdade dada, temos:
Agora, vamos expandir os dois lados usando a linearidade do produto interno:
Como a igualdade deve ser válida para todas as funções, podemos igualar os termos correspondentes:

Passo 3

Agora, vamos fazer . Substituindo na igualdade original:
Expandindo novamente:
Novamente, igualando os termos correspondentes:

Passo 4

Agora, temos duas equações:
Vamos simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por :
Agora, somando as duas equações, cancelam-se os termos com e , ficando:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

Portanto, mostramos que se para todas as funções , então também para quaisquer e . Assim, as duas definições de operador hermitiano são equivalentes.

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