Quando o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano?

Passo 1

Então, a gente tem uma questão perguntando: Quando o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano? Vamos mergulhar nesse assunto que está ligado à álgebra de operadores, muito utilizada em mecânica quântica. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são operadores hermitianos e como eles se comportam quando multiplicados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador hermitiano. Um operador é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, ou seja, . O adjunto de um operador é basicamente a sua “transposta conjugada”.

Passo 3

Agora, a gente quer saber quando o produto de dois operadores hermitianos, digamos e , também é hermitiano. Ou seja, queremos que seja igual a seu adjunto: .

Passo 4

Vamos calcular o adjunto de . Pela propriedade dos adjuntos, temos que . Mas como e são hermitianos, sabemos que e . Então, .

Passo 5

Para que seja hermitiano, precisamos que . Isso significa que e precisam comutar, ou seja, a ordem em que multiplicamos não altera o resultado: .

Passo 6

Portanto, concluímos que o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano se e somente se eles comutam.

Resposta

O produto de dois operadores hermitianos é hermitiano quando eles comutam, ou seja, .

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