Quando o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano?
Passo 1
Então, a gente tem uma questão perguntando: Quando o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano? Vamos mergulhar nesse assunto que está ligado à álgebra de operadores, muito utilizada em mecânica quântica. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são operadores hermitianos e como eles se comportam quando multiplicados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador hermitiano. Um operador
é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, ou seja,
. O adjunto de um operador é basicamente a sua “transposta conjugada”.
Passo 3
Agora, a gente quer saber quando o produto de dois operadores hermitianos, digamos
e
, também é hermitiano. Ou seja, queremos que
seja igual a seu adjunto:
.
Passo 4
Vamos calcular o adjunto de
. Pela propriedade dos adjuntos, temos que
. Mas como
e
são hermitianos, sabemos que
e
. Então,
.
Passo 5
Para que
seja hermitiano, precisamos que
. Isso significa que
e
precisam comutar, ou seja, a ordem em que multiplicamos não altera o resultado:
.
Passo 6
Portanto, concluímos que o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano se e somente se eles comutam.
Resposta
O produto de dois operadores hermitianos é hermitiano quando eles comutam, ou seja,
.