O conjugado hermitiano (ou adjunto) de um operador
é o operador
, tal que
(Um operador hermitiano, então, é igual ao seu conjugado hermitiano:
.)
Monte o conjugado hermitiano do operador de levantamento do oscilador harmônico,
(Equação 2.47).
Monte o conjugado hermitiano do operador de levantamento do oscilador harmônico,
(Equação 2.47).
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre operadores no contexto do oscilador harmônico. Precisamos encontrar o conjugado hermitiano do operador de levantamento
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear e mecânica quântica, especialmente sobre operadores adjuntos e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador de levantamento
. No oscilador harmônico, esse operador aumenta o número de quanta de energia do sistema. Ele está relacionado aos operadores de criação e aniquilação, fundamentais na descrição de sistemas quânticos.
Passo 3
O conjugado hermitiano de um operador
, denotado por
, satisfaz a relação:
Isso significa que
é o operador que “reverte” a ação de
no espaço de Hilbert.
Passo 4
Sabemos que o operador de aniquilação
é o adjunto de
, ou seja:
Isso decorre das propriedades dos operadores de criação e aniquilação no oscilador harmônico, onde
cria um quantum de energia e
aniquila um quantum.
Passo 5
Então, para encontrar o conjugado hermitiano de
, basta aplicar a definição:
Portanto, o conjugado hermitiano do operador de levantamento
é o operador de aniquilação
.
Resposta
O conjugado hermitiano do operador de levantamento
é o operador de aniquilação
, ou seja: