O conjugado hermitiano (ou adjunto) de um operador é o operador , tal que
(Um operador hermitiano, então, é igual ao seu conjugado hermitiano: .)
Monte o conjugado hermitiano do operador de levantamento do oscilador harmônico,
(Equação 2.47).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre operadores no contexto do oscilador harmônico. Precisamos encontrar o conjugado hermitiano do operador de levantamento . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear e mecânica quântica, especialmente sobre operadores adjuntos e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador de levantamento . No oscilador harmônico, esse operador aumenta o número de quanta de energia do sistema. Ele está relacionado aos operadores de criação e aniquilação, fundamentais na descrição de sistemas quânticos.

Passo 3

O conjugado hermitiano de um operador , denotado por , satisfaz a relação:
Isso significa que é o operador que “reverte” a ação de no espaço de Hilbert.

Passo 4

Sabemos que o operador de aniquilação é o adjunto de , ou seja:
Isso decorre das propriedades dos operadores de criação e aniquilação no oscilador harmônico, onde cria um quantum de energia e aniquila um quantum.

Passo 5

Então, para encontrar o conjugado hermitiano de , basta aplicar a definição:
Portanto, o conjugado hermitiano do operador de levantamento é o operador de aniquilação .

Resposta

O conjugado hermitiano do operador de levantamento é o operador de aniquilação , ou seja:

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