Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para para as oito situações a seguir: (g) curva dada por sobre uma esfera de raio

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a expressão para o comprimento diferencial de um pequeno segmento de uma curva que está sobre uma esfera de raio . A curva é dada pela relação . Vamos usar conceitos de geometria esférica e cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de um arco em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera de raio é determinado por dois ângulos: (latitude) e (longitude). A expressão geral para o comprimento diferencial em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Como a curva é dada por , isso significa que é uma função de . Então, podemos expressar em termos de usando a derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir na expressão de :

Passo 5

Vamos fatorar dentro da expressão:

Passo 6

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A expressão para o comprimento diferencial da curva sobre uma esfera de raio é:

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