Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento
de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para
para as oito situações a seguir: (g) curva dada por
sobre uma esfera de raio
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a expressão para o comprimento diferencial
de um pequeno segmento de uma curva que está sobre uma esfera de raio
. A curva é dada pela relação
. Vamos usar conceitos de geometria esférica e cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de um arco em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera de raio
é determinado por dois ângulos:
(latitude) e
(longitude). A expressão geral para o comprimento diferencial
em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Como a curva é dada por
, isso significa que
é uma função de
. Então, podemos expressar
em termos de
usando a derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na expressão de
:
Passo 5
Vamos fatorar
dentro da expressão:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A expressão para o comprimento diferencial
da curva
sobre uma esfera de raio
é: