Considere um cilindro reto circular de raio
centrado sobre o eixo
. Determine a equação para
como uma função de
para a geodésica (menor caminho) entre dois pontos com coordenadas cilíndricas polares
e
. Descreva a geodésica. Ela é única? Imaginando a superfície do cilindro quando aberto no plano, explique por que a geodésica tem essa forma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geodésicas em um cilindro reto circular. O enunciado nos pede para encontrar a equação que relaciona
com
para o menor caminho entre dois pontos no cilindro, dados em coordenadas cilíndricas
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geodésicas e coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos em uma superfície. No caso de um cilindro, podemos imaginar desenhar esse caminho diretamente na superfície do cilindro.
Passo 3
Vamos usar as coordenadas cilíndricas
, onde
é o raio fixo do cilindro,
é o ângulo em torno do eixo
, e
é a altura ao longo do eixo. Como o raio
é constante, nossa equação vai relacionar
e
.
Passo 4
Para encontrar a relação entre
e
, vamos “desenrolar” o cilindro em um plano. Imagine cortar o cilindro ao longo de uma linha vertical e desenrolá-lo, transformando-o em um retângulo onde a largura é a circunferência do cilindro
e a altura é infinita.
Passo 5
No plano, os dois pontos
e
se tornam
e
. O caminho mais curto entre esses dois pontos no plano é uma linha reta. Portanto, a equação dessa linha reta será a geodésica no cilindro.
Passo 6
A equação de uma reta no plano pode ser escrita como:
onde
é a inclinação e
é a constante. Vamos determinar
e
usando os pontos dados.
Passo 7
Para encontrar
, usamos a fórmula da inclinação entre dois pontos:
Assim, a equação da geodésica fica:
Passo 8
Para encontrar
, usamos um dos pontos. Vamos usar
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituindo
de volta na equação da reta:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, isolamos
em função de
:
Resposta
A equação da geodésica no cilindro é:
Essa geodésica é única e corresponde a uma linha reta no plano quando o cilindro é desenrolado. Isso ocorre porque, no plano, o caminho mais curto entre dois pontos é uma linha reta, e ao enrolar de volta no cilindro, essa linha reta se transforma na geodésica na superfície cilíndrica.