Considere um cilindro reto circular de raio centrado sobre o eixo . Determine a equação para como uma função de para a geodésica (menor caminho) entre dois pontos com coordenadas cilíndricas polares e . Descreva a geodésica. Ela é única? Imaginando a superfície do cilindro quando aberto no plano, explique por que a geodésica tem essa forma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geodésicas em um cilindro reto circular. O enunciado nos pede para encontrar a equação que relaciona com para o menor caminho entre dois pontos no cilindro, dados em coordenadas cilíndricas e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geodésicas e coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos em uma superfície. No caso de um cilindro, podemos imaginar desenhar esse caminho diretamente na superfície do cilindro.

Passo 3

Vamos usar as coordenadas cilíndricas , onde é o raio fixo do cilindro, é o ângulo em torno do eixo , e é a altura ao longo do eixo. Como o raio é constante, nossa equação vai relacionar e .

Passo 4

Para encontrar a relação entre e , vamos “desenrolar” o cilindro em um plano. Imagine cortar o cilindro ao longo de uma linha vertical e desenrolá-lo, transformando-o em um retângulo onde a largura é a circunferência do cilindro e a altura é infinita.

Passo 5

No plano, os dois pontos e se tornam e . O caminho mais curto entre esses dois pontos no plano é uma linha reta. Portanto, a equação dessa linha reta será a geodésica no cilindro.

Passo 6

A equação de uma reta no plano pode ser escrita como:
onde é a inclinação e é a constante. Vamos determinar e usando os pontos dados.

Passo 7

Para encontrar , usamos a fórmula da inclinação entre dois pontos:
Assim, a equação da geodésica fica:

Passo 8

Para encontrar , usamos um dos pontos. Vamos usar :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo de volta na equação da reta:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, isolamos em função de :

Resposta

A equação da geodésica no cilindro é:
Essa geodésica é única e corresponde a uma linha reta no plano quando o cilindro é desenrolado. Isso ocorre porque, no plano, o caminho mais curto entre dois pontos é uma linha reta, e ao enrolar de volta no cilindro, essa linha reta se transforma na geodésica na superfície cilíndrica.

Exercícios de Livros Relacionados