Considere uma colisão inélastica clássica da forma
. (Por exemplo, poderia ser uma colisão do tipo
, na qual dois átomos do nêutron trocam um elétron e tornam-se íons carregados opostamente.) Mostre que a lei de conservação do momento clássico é invariante sob a transformação Galileana se e somente se a massa total for conservada - como é certamente verdade na mecânica clássica. (Devemos encontrar na relatividade que a definição clássica de momento deve ser modificada e a massa total não é conservada.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão inelástica clássica, onde dois objetos colidem e formam outros dois. O tema principal aqui é a conservação do momento na mecânica clássica e como essa lei se comporta quando mudamos de referência usando a transformação Galileana. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento, transformação Galileana e como a conservação de massa entra nessa história.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento linear. Na mecânica clássica, o momento (
) de um objeto é dado por:
onde
é a massa e
é a velocidade.
Passo 3
Agora, vamos entender a transformação Galileana. É uma maneira de mudar do ponto de vista de um referencial para outro que está se movendo com velocidade constante
em relação ao primeiro. Se
é a velocidade em um referencial, no outro referencial a velocidade
será:
Passo 4
Vamos aplicar a transformação Galileana no momento. O momento no novo referencial será:
Então, cada momento muda subtraindo
.
Passo 5
Em uma colisão inelástica
, a conservação do momento no referencial original diz que:
Vamos ver como isso se transforma no novo referencial usando a transformação Galileana.
Passo 6
Aplicando a transformação Galileana em todos os momentos:
E para os produtos:
Passo 7
Para que a conservação do momento seja invariante sob a transformação, os momentos antes e depois da colisão devem permanecer iguais nos dois referenciais:
Simplificando, temos:
Passo 8
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer velocidade
, o termo que multiplica
deve ser zero:
Isso mostra que a massa total deve ser conservada para que a conservação do momento seja invariante sob transformações Galileanas.
Resposta
A lei de conservação do momento clássico é invariante sob transformações Galileanas se e somente se a massa total for conservada, ou seja,
.