O referencial viaja com velocidade ao longo do eixo do referencial (na configuração padrão). O referencial viaja com velocidade ao longo do eixo do referencial (também na configuração padrão). Aplicando a transformação de Lorentz padrão duas vezes, determine as coordenadas de qualquer evento em termos de . Mostre que essa transformação é de fato a tranformação de Lorentz padrão com velocidade dada pela “soma” relativística de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos está na área da Relatividade Especial, mais especificamente envolvendo as transformações de Lorentz. A gente precisa descobrir como as coordenadas de um evento mudam quando passamos de um referencial para outros que estão se movendo em relação ao primeiro. Neste caso, temos dois referenciais em movimento: movendo-se com velocidade em relação a , e movendo-se com velocidade em relação a . Vamos precisar usar as transformações de Lorentz para dois movimentos consecutivos e depois combinar essas transformações para encontrar as coordenadas finais do evento em . No final, vamos mostrar que a velocidade resultante segue a fórmula de soma relativística de velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação de Lorentz padrão para um referencial que se move ao longo do eixo . A transformação relaciona as coordenadas no referencial com as coordenadas no referencial . As fórmulas são:
onde e é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação de Lorentz novamente para passar de para . Assim, temos:
onde .

Passo 4

Vamos agora substituir as expressões de e da primeira transformação nas equações da segunda transformação:
Simplificando essas expressões:

Passo 5

Queremos expressar a transformação final de para na forma padrão das transformações de Lorentz, que é:
Comparando com as expressões que obtivemos, percebemos que para igualar as duas formas, precisamos que:
e
Esta última expressão é justamente a fórmula de soma relativística de velocidades, que nos dá a velocidade resultante quando dois referenciais estão se movendo com velocidades e em relação a um referencial comum.

Resposta

Assim, ao aplicar duas transformações de Lorentz consecutivas com velocidades e , obtemos as coordenadas no referencial como:
onde e a velocidade é dada pela soma relativística:
Isso confirma que a transformação resultante é uma transformação de Lorentz padrão com a velocidade obtida pela soma relativística de e .

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