Duas pessoas, cada uma de massa
, estão em pé em uma das extremidades de um vagão de massa
, com rodas sem atrito, em uma estrada de ferro. Elas podem correr para a outra extremidade do vagão e saltar para fora dele com velocidade
(relativa ao vagão). O que acontece se uma delas começar a correr apenas depois que a outra tiver saltado? Qual dos procedimentos gera a maior velocidade para o vagão? [Sugestão: a velocidade
é a velocidade de cada uma das pessoas, relativa ao vagão, logo após ele ter saltado; ela tem o mesmo valor para qualquer uma das pessoas e é a mesma nos itens (a) e (b).]
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas pessoas, cada uma com massa
, dentro de um vagão com massa
que está em uma estrada de ferro sem atrito. Essas pessoas podem correr para a outra extremidade do vagão e saltar para fora com uma velocidade
relativa ao vagão. A pergunta é: o que acontece se uma pessoa começa a correr apenas depois que a outra já saltou e qual dos dois procedimentos (jogar uma depois da outra versus jogar ambas ao mesmo tempo) gera uma maior velocidade para o vagão?
Para resolver isso, vamos precisar aplicar os conceitos de conservação do momento linear e entender como a ação de cada pessoa ao saltar afeta o movimento do vagão.
Passo 2
Vamos começar lembrando o princípio da conservação do momento linear, que diz que em um sistema isolado (sem forças externas), o momento linear total permanece constante. No nosso caso, consideramos o sistema formado pelo vagão e pelas duas pessoas como isolado, já que as rodas não têm atrito e a estrada de ferro não exerce força externa.
Passo 3
Inicialmente, tanto as pessoas quanto o vagão estão em repouso, então o momento linear total é zero. Quando uma pessoa pula para fora do vagão com uma velocidade
relativa ao vagão, o vagão deve se mover na direção oposta para conservar o momento linear total igual a zero.
Passo 4
Vamos calcular a velocidade do vagão quando uma pessoa salta. Seja
a velocidade do vagão após a primeira pessoa pular. Aplicando a conservação do momento linear:
Resolvendo para
:
A velocidade negativa indica que o vagão se move na direção oposta ao salto da pessoa.
Passo 5
Agora, se a segunda pessoa pula depois da primeira, o sistema agora consiste do vagão em movimento com velocidade
e a segunda pessoa ainda no vagão. Quando a segunda pessoa pula com a mesma velocidade
relativa ao vagão, devemos considerar a nova velocidade do vagão, que chamaremos de
.
Aplicando novamente a conservação do momento linear:
Isso porque o sistema antes do segundo salto já está com o vagão movendo-se a
. Resolvendo para
:
Passo 6
Vamos comparar agora as velocidades
e
:
Observe que
tem um denominador maior que
, o que significa que a magnitude de
é menor que a de
. Portanto, quando as pessoas pulam uma após a outra, o vagão adquire uma velocidade menor do que se ambas pudessem pular simultaneamente.
Resposta
O procedimento em que ambas as pessoas pulam ao mesmo tempo gera uma maior velocidade para o vagão em comparação com o caso em que uma pula depois da outra.