Particularize para o caso de o foguete ser lançado verticalmente (a partir do repouso) em um campo gravitacional
, de modo que a equação do movimento se torne
Assuma que o foguete expele massa a uma taxa constante,
(onde k é uma constante positiva), de modo que
. Resolva a Equação (3.30) para
como uma função de
, usando separação de variáveis (isto é, reescreva a equação de forma que os termos envolvendo
estejam à esquerda e todos os termos envolvendo
estejam à direita).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com a movimentação de um foguete lançado verticalmente em um campo gravitacional. A equação do movimento fornecida leva em conta a variação da massa do foguete ao longo do tempo devido à exaustão de combustível. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação para encontrar a velocidade
do foguete em função do tempo
, usando o método de separação de variáveis.
Passo 2
Vamos começar substituindo os valores dados na equação do movimento. Sabemos que:
Substituindo esses na equação original:
Simplificando:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Dividindo cada termo no numerador pelo denominador:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial que pode ser escrita como:
Para resolver essa equação, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que envolve reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Simplificando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
, temos:
Para determinar a constante
, usamos a condição inicial. Como o foguete parte do repouso, quando
,
:
Então:
Passo 7
Substituindo
de volta na equação de
:
Podemos simplificar isso combinando os termos de logaritmo:
Resposta
A velocidade do foguete em função do tempo
é dada por: