Particularize para o caso de o foguete ser lançado verticalmente (a partir do repouso) em um campo gravitacional , de modo que a equação do movimento se torne
Assuma que o foguete expele massa a uma taxa constante, (onde k é uma constante positiva), de modo que . Resolva a Equação (3.30) para como uma função de , usando separação de variáveis (isto é, reescreva a equação de forma que os termos envolvendo estejam à esquerda e todos os termos envolvendo estejam à direita).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com a movimentação de um foguete lançado verticalmente em um campo gravitacional. A equação do movimento fornecida leva em conta a variação da massa do foguete ao longo do tempo devido à exaustão de combustível. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação para encontrar a velocidade do foguete em função do tempo , usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Vamos começar substituindo os valores dados na equação do movimento. Sabemos que:
Substituindo esses na equação original:
Simplificando:

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Dividindo cada termo no numerador pelo denominador:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial que pode ser escrita como:
Para resolver essa equação, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que envolve reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Simplificando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolando , temos:
Para determinar a constante , usamos a condição inicial. Como o foguete parte do repouso, quando , :
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na equação de :
Podemos simplificar isso combinando os termos de logaritmo:

Resposta

A velocidade do foguete em função do tempo é dada por:

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