Considere um corpo girando com velocidade angular em torno de eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo e use coordenadas polares cilíndricas , para especificar as posições das partículas que formam o corpo. Como consequência, mostre que a componente do momento angular da partícula é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo que tá girando com uma velocidade angular em torno de um eixo fixo, que é o eixo . Pense numa porta girando nas dobradiças, por exemplo. A gente vai usar coordenadas cilíndricas pra localizar cada partícula que forma esse corpo. Nosso objetivo é mostrar que a componente do momento angular de cada partícula é igual a . Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é momento angular e como ele se relaciona com as coordenadas cilíndricas e a velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular de uma partícula é dado pelo produto vetorial entre a posição da partícula e seu momento linear :
Onde , sendo a massa da partícula e sua velocidade.

Passo 3

Como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, a posição da partícula é:
E a velocidade na rotação é perpendicular ao raio e dada por:
Aqui, é a velocidade angular e , , são os vetores unitários nas direções das coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento linear :

Passo 5

Com a posição e o momento linear definidos, podemos calcular o momento angular :
Vamos fazer o produto vetorial:

Passo 6

Vamos expandir o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 7

Sabemos que:
Substituindo:

Passo 8

A componente do momento angular é o coeficiente de na expressão acima. Então:

Resposta

A componente do momento angular da partícula é .

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