Considere um corpo girando com velocidade angular
em torno de eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo
e use coordenadas polares cilíndricas
,
para especificar as posições das partículas
que formam o corpo. Como consequência, mostre que a componente
do momento angular
da partícula
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo que tá girando com uma velocidade angular
em torno de um eixo fixo, que é o eixo
. Pense numa porta girando nas dobradiças, por exemplo. A gente vai usar coordenadas cilíndricas
pra localizar cada partícula que forma esse corpo. Nosso objetivo é mostrar que a componente
do momento angular
de cada partícula
é igual a
. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é momento angular e como ele se relaciona com as coordenadas cilíndricas e a velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular
de uma partícula é dado pelo produto vetorial entre a posição
da partícula e seu momento linear
:
Onde
, sendo
a massa da partícula e
sua velocidade.
Passo 3
Como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, a posição
da partícula
é:
E a velocidade
na rotação é perpendicular ao raio
e dada por:
Aqui,
é a velocidade angular e
,
,
são os vetores unitários nas direções das coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento linear
:
Passo 5
Com a posição
e o momento linear
definidos, podemos calcular o momento angular
:
Vamos fazer o produto vetorial:
Passo 6
Vamos expandir o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 7
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 8
A componente
do momento angular
é o coeficiente de
na expressão acima. Então:
Resposta
A componente
do momento angular da partícula
é
.