Os primeiros minutos do lançamento do ônibus espacial podem ser descritos, muito genericamente, da seguinte forma: a massa inicial é
, a massa final (após 2 minutos) é de aproximadamente
, a velocidade média de expulsão
é de cerca de
e a velocidade inicial, claramente, é zero. Se tudo isso estiver acontecendo no espaço, com gravidade desprezível, qual será a velocidade do ônibus espacial ao final desse estágio? Qual é a propulsão durante o mesmo período e como ela se compara ao peso total inicial do ônibus (na Terra)?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um ônibus espacial que está sendo lançado e queremos descobrir algumas coisas sobre o movimento dele nos primeiros minutos do lançamento. A matéria que vamos usar aqui é a cinemática de foguetes, que estuda como os foguetes se movem no espaço levando em conta a perda de massa devido à expulsão de combustível. Para resolver isso, vamos precisar das informações sobre a massa inicial e final do ônibus, a velocidade de expulsão do combustível, e o tempo do lançamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a massa do ônibus espacial muda durante o lançamento. A massa inicial é de
kg e, após 2 minutos, a massa final é de
kg. Isso significa que o ônibus está perdendo massa enquanto o combustível é expelido para impulsioná-lo.
Passo 3
Vamos usar a Equação do Murov-Tsiolkovsky, que é fundamental para entender o movimento de foguetes. A fórmula é:
Onde:
-
é a variação da velocidade do foguete. -
é a velocidade de expulsão do combustível. -
é a massa inicial do foguete. -
é a massa final do foguete. -
é o logaritmo natural.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na equação:
Simplificando dentro do logaritmo:
Então:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Portanto, a velocidade final do ônibus espacial após os 2 minutos de lançamento é aproximadamente 2079 metros por segundo.
Passo 6
Agora, vamos calcular a propulsão, ou seja, a força com que o foguete está empurrando para frente. A força de propulsão (
) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
é a taxa de perda de massa (massa expelida por segundo).
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar a taxa de perda de massa. A massa perdida é de
kg em 2 minutos (120 segundos).
Passo 8
Agora, aplicamos na fórmula da força:
Ou seja, a propulsão é de 25 milhões de newtons.
Passo 9
Por fim, vamos comparar essa propulsão com o peso inicial do ônibus na Terra. O peso (
) é dado por:
Onde
é a aceleração da gravidade (
).
Resposta
A velocidade do ônibus espacial ao final do estágio é de aproximadamente 2079 m/s, a propulsão durante o período é de 25 milhões de newtons, e essa propulsão é cerca de 12,75 vezes o peso inicial do ônibus na Terra.