Os primeiros minutos do lançamento do ônibus espacial podem ser descritos, muito genericamente, da seguinte forma: a massa inicial é , a massa final (após 2 minutos) é de aproximadamente , a velocidade média de expulsão é de cerca de e a velocidade inicial, claramente, é zero. Se tudo isso estiver acontecendo no espaço, com gravidade desprezível, qual será a velocidade do ônibus espacial ao final desse estágio? Qual é a propulsão durante o mesmo período e como ela se compara ao peso total inicial do ônibus (na Terra)?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um ônibus espacial que está sendo lançado e queremos descobrir algumas coisas sobre o movimento dele nos primeiros minutos do lançamento. A matéria que vamos usar aqui é a cinemática de foguetes, que estuda como os foguetes se movem no espaço levando em conta a perda de massa devido à expulsão de combustível. Para resolver isso, vamos precisar das informações sobre a massa inicial e final do ônibus, a velocidade de expulsão do combustível, e o tempo do lançamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a massa do ônibus espacial muda durante o lançamento. A massa inicial é de kg e, após 2 minutos, a massa final é de kg. Isso significa que o ônibus está perdendo massa enquanto o combustível é expelido para impulsioná-lo.

Passo 3

Vamos usar a Equação do Murov-Tsiolkovsky, que é fundamental para entender o movimento de foguetes. A fórmula é:
Onde:
  • é a variação da velocidade do foguete.
  • é a velocidade de expulsão do combustível.
  • é a massa inicial do foguete.
  • é a massa final do foguete.
  • é o logaritmo natural.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na equação:
Simplificando dentro do logaritmo:
Então:
Sabemos que , então:

Passo 5

Portanto, a velocidade final do ônibus espacial após os 2 minutos de lançamento é aproximadamente 2079 metros por segundo.

Passo 6

Agora, vamos calcular a propulsão, ou seja, a força com que o foguete está empurrando para frente. A força de propulsão ( ) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde é a taxa de perda de massa (massa expelida por segundo).

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar a taxa de perda de massa. A massa perdida é de kg em 2 minutos (120 segundos).

Passo 8

Agora, aplicamos na fórmula da força:
Ou seja, a propulsão é de 25 milhões de newtons.

Passo 9

Por fim, vamos comparar essa propulsão com o peso inicial do ônibus na Terra. O peso ( ) é dado por:
Onde é a aceleração da gravidade ( ).

Resposta

A velocidade do ônibus espacial ao final do estágio é de aproximadamente 2079 m/s, a propulsão durante o período é de 25 milhões de newtons, e essa propulsão é cerca de 12,75 vezes o peso inicial do ônibus na Terra.

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