Para um sistema de apenas três partículas, elabore em detalhe o argumento que conduz de (3.20) a (3.26), , escrevendo todas as somas explicitamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que, para um sistema de três partículas, a derivada do momento angular total ( ) é igual ao torque externo ( ). Vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre momento angular e torque. Precisamos entender como somar os momentos angulares individuais e os torques aplicados, além de considerar as forças internas e externas entre as partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular total de um sistema de partículas é a soma dos momentos angulares de cada partícula:
Aqui, é a posição da i-ésima partícula, sua massa, e sua velocidade.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação ao tempo para encontrar :
Usando a regra do produto para derivadas:
Sabemos que , então:
Onde é a aceleração da i-ésima partícula.

Passo 4

Note que porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero. Então:

Passo 5

Pela segunda lei de Newton, , onde é a força resultante na i-ésima partícula. Substituindo:

Passo 6

As forças podem ser divididas em forças internas e externas. Vamos escrever . Substituindo na expressão:

Passo 7

O torque total é a soma dos torques internos e externos:
Onde:

Passo 8

Em um sistema isolado, as forças internas se cancelam quando somadas devido à terceira lei de Newton ( ). Assim, . Portanto:

Resposta

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