Para um sistema de apenas três partículas, elabore em detalhe o argumento que conduz de (3.20) a (3.26),
, escrevendo todas as somas explicitamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que, para um sistema de três partículas, a derivada do momento angular total (
) é igual ao torque externo (
). Vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre momento angular e torque. Precisamos entender como somar os momentos angulares individuais e os torques aplicados, além de considerar as forças internas e externas entre as partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular total
de um sistema de partículas é a soma dos momentos angulares de cada partícula:
Aqui,
é a posição da i-ésima partícula,
sua massa, e
sua velocidade.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação ao tempo para encontrar
:
Usando a regra do produto para derivadas:
Sabemos que
, então:
Onde
é a aceleração da i-ésima partícula.
Passo 4
Note que
porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero. Então:
Passo 5
Pela segunda lei de Newton,
, onde
é a força resultante na i-ésima partícula. Substituindo:
Passo 6
As forças
podem ser divididas em forças internas e externas. Vamos escrever
. Substituindo na expressão:
Passo 7
O torque total
é a soma dos torques internos e externos:
Onde:
Passo 8
Em um sistema isolado, as forças internas se cancelam quando somadas devido à terceira lei de Newton (
). Assim,
. Portanto: